ГЛАВА 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ

§ 2.1. ЭЛЕМЕНТЫ И ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

В гл. 1 было показано, что любая система автоматического регулирования и управления может рассматриваться в виде совокупности отдельных связанных между собой элементов автоматики (чувствительных, промежуточных и исполнительных), взаимодействующих друг с другом и с объектом регулирования или управления (см. рис. 1.7 и 1.11). Разбиение системы автоматического управления на элементы позволяет ввести понятие функциональной схемы автоматической системы, приносящее большую пользу при рассмотрении принципа действия и аппаратурного состава систем управления и регулирования.

Для количественного исследования процессов, происходящих при автоматическом управлении, прежде всего необходимы уравнения, описывающие работу системы автоматического управления (САУ). Ввиду сложности современных САУ эти уравнения естественно получать, разбивая систему управления на сравнительно простые части и составляя уравнения для каждой из таких частей по отдельности. При таком подходе расчленение САУ на элементы часто не приносит пользы для математического описания работы системы управления. Объясняется это прежде всего тем, что уравнения многих современных элементов автоматики достаточно громоздки. Кроме того, различные элементы автоматики часто описываются однотипными уравнениями.

Для математического описания работы САУ удобно разбивать их не на элементы автоматики, а на динамические звенья. Динамическим звеном называется часть системы управления, описываемая дифференциальным (или иным) уравнением определенного вида. Приведенное определение является достаточно общим. Под него подходит, в частности, любой элемент автоматики, совокупность таких элементов и даже вся система автоматического управления в целом. Существенно, что в отличие от элемента автоматики, динамическое звено отнюдь не обязательно является конструктивно или схемно оформленным устройством. Например, часто в качестве динамических звеньев рассматриваются отдельные части элементов автоматики и объектов управления (обмотки возбуждения электрических генераторов, якорные обмотки электродвигателей, отдельные каскады усилителей и

т. д.). В отдельных случаях динамические звенья могут вообще не иметь физического смысла, характеризуя лишь математические зависимости, имеющие место между некоторыми величинами автоматической системы.

Состояние любого динамического звена может быть охарактеризовано совокупностью соответствующих физических величин — обобщенных координат. Для электрических звеньев обобщенными координатами могут служить напряжения, токи и их производные; для механических — перемещения, скорости, ускорения и т. д.

Чтобы охарактеризовать состояние динамического звена, обычно выбирают одну обобщенную координату на входе звена и одну — на выходе и называют их соответственно входной и выходной величинами звена. В дальнейшем входную величину будем обозначать через а выходную — (рис. 2.1). В общем случае обе эти величины представляют собой функции времени.

Рис. 2.1. Условное изображение динамического звена

Многие звенья автоматических устройств обладают свойством направленного действия (однонаправленности), т. е. передают воздействие только в одном направлении — от входа к выходу. В таких звеньях при изменении входной величины изменяется и выходная величина изменения же выходной величины звена никак не сказываются на входной величине. Свойство однонаправленности практически реализуется за счет усиления входного сигнала звена по мощности. Пассивные звенья (рычаг, редуктор, пассивные электрические цепи и др.) свойством направленного действия не обладают.

В общем случае, кроме входной величины, на выходную величину звена могут оказывать влияние и некоторые другие факторы (например, возмущающие воздействия). На рис. 2.1 показано одно такое воздействие (их может быть и несколько). Так, выходное напряжение и генератора постоянного тока (см. рис. 1.2, в) зависит не только от координаты движка реостата в цепи обмотки возбуждения, но также и от скорости вращения якоря тока нагрузки и напряжения приложенного к обмотке возбуждения.

Зависимость выходной величины звена от входной в установившемся режиме называется статической характеристикой звена. Статическая характеристика обычно изображается графически в плоскости координат и может быть получена экспериментальным либо расчетным путем. Экспериментально статическая характеристика снимается следующим образом. Входной величине придают постоянное значение Выждав время, необходимое для затухания переходного процесса, определяют при помощи соответствующего измерительного прибора установившееся значение выходной

величины и получают первую точку статической характеристики ). Повторив эти измерения для различных значений величины и соединив полученные точки плавной кривой, находят статическую характеристику звена (рис. 2.2, а). По этой характеристике для каждого значения входной величины звена можно определить соответствующее установившееся значение выходной координаты В том случае, когда выходная величина звена, кроме входной величины, зависит еще и от некоторой величины звено характеризуется семейством статических характеристик, построенных для различных постоянных значений (рис. 2.2, б).

Рис. 2.2. Статические характеристики динамических звеньев: а — построение статической характеристики по экспериментальным данным; б — семейство статических характеристик звена для различных значений величины в — линейная статическая характеристика

Для аналитического определения статической характеристики следует составить уравнения, описывающие работу звена в установившемся режиме. Разрешив эти уравнения относительно величин получим уравнения статической характеристики в явном, неявном и параметрическом виде соответственно:

В уравнениях (2.2) (2.3) величина а обозначает параметр, а — некоторую функцию своих аргументов.

Обычно статические характеристики элементов и звеньев автоматики нелинейны. Линейные статические характеристики (рис. 2.2, в) встречаются редко. Однако в инженерной практике часто нелинейные характеристики приближенно заменяются линейными (см. рис. 2.3).

Статическая характеристика (или семейство статических характеристик) полностью характеризует поведение динамического звена в установившихся режимах.

Ранее отмечалось (см. § 1.14), что системы управления и регулирования чаще всего работают в неустановившихся режимах. Поэтому важной задачей является изучение поведения динамических звеньев в переходных режимах.

Для теоретического исследования динамических свойств звеньев прежде всего необходимо составить уравнения, описывающие их поведение при изменяющихся внешних воздействиях, т. е. выразить в математической форме соотношения, связывающие обобщенные координаты на входе и выходе звена в неустановившихся процессах. В большинстве случаев рассмотрение переходных режимов

динамических звеньев приводит к дифференциальным уравнениям того или иного вида. В результате физическая задача определения выходной величины звена при изменяющемся входном сигнале сводится к математической задаче отыскания решения дифференциального уравнения, описывающего работу звена.

Примерный порядок составления дифференциального уравнения звена заключается в следующем:

1) определяют входную и выходную величины звена и устанавливают дополнительные факторы, от которых зависит выходная величина;

2) выбирают начало отсчета и положительные направления отсчета всех входящих в рассмотрение переменных;

3) вводят те или иные упрощающие предположения (допущения);

4) используют основные законы той отрасли науки и техники к которой относится исследуемое звено: законы Кирхгофа — для электрических звеньев; законы Ньютона — для звеньев механической природы, законы сохранения энергии и вещества для гидравлических и пневматических звеньев и др.

Дифференциальные уравнения звеньев автоматики чрезвычайно разнообразны. Для звеньев непрерывного действия с сосредоточенными параметрами общее уравнение имеет следующий вид (обозначения соответствуют рис. 2.1):

Здесь — натуральные числа, определяющие наивысший порядок входящих в уравнение производных от выходной величины звена и внешних воздействий — некоторая функция от своих аргументов

На практике в большинстве случаев Число называется порядком дифференциального уравнения (2.4). При имеем дифференциальное уравнение первого порядка:

при второго порядка:

Неизвестной функцией в уравнении (2,4) является выходная величина звена Для решения уравнения (2.4) должны быть заданы величины как функции времени и начальные условия. Конкретные формы, которые может принимать уравнение, описывающее динамику работы звена, станут ясными после прочтения последующих глав книги.

Уравнение статической характеристики представляет собой частный случай дифференциального уравнения (2.4). На самом деле, положив в нем получим уравнение

определяющее статическую характеристику в неявном виде.