Преобразования Фурье.

Эти преобразования являются функциональными, так как они преобразовывают некоторую функцию переменного в совершенно иную функцию переменного , и наоборот.

Преобразования Фурье имеют вид:

Интегральное уравнение (4.34) называется прямым, а уравнение (4.35) — обратным преобразованием Фурье. Сокращенная форма записи этих уравнений

Интеграл Фурье (прямое преобразование Фурье) позволяет разложить непериодическую функцию обладающую свойством абсолютной интегрируемости в заданных пределах, в бесконечный ряд гармоник, образующих непрерывный спектр частот в интервале от до с бесконечно малым интервалом частот между смежными гармониками (т. е. в пределе

Метод преобразования Фурье непригоден при ненулевых начальных (или граничных) условиях. Этот метод может применяться лишь тогда, когда искомые функции имеют изображение Фурье, т. е. для абсолютно интегрируемых функций времени, удовлетворяющих неравенству

Наиболее часто встречающимися в теории регулирования функциями являются единичная ступенчатая функция (1.44) и произведение синусоидальной функции на единичную функцию (1.51). Преобразование Фурье неприменимо ни к одной из этих функций, так как не удовлетворяется условие (4.38).

Указанные недостатки ограничивают использование метода преобразования Фурье.

Чтобы применить интеграл Фурье, необходимо выбрать функцию, Достаточно близкую к исследуемой, например, к ступенчатой функции при конечных значениях но в то же время удовлетворяющую условию (4.38). Такую функцию можно получить, умножив

ступенчатую функцию на где с — достаточно малая положительная величина. Вновь полученная вспомогательная функция

Устремляя с к нулю и делая предельный переход, можно от вспомогательной функции перейти к основной Кроме того, если ограничиться функциями , тождественно равными нулю при то для большого класса функций будет справедливо условие (4.38) и можно найти частотный спектр функции, используя выражение (4.34). Вместо введем новое обозначение так как эта величина теперь зависит и от с:

Положив с находим

Эта формула совпадает с прямым преобразованием Лапласа (4.9).

Отсюда следует, что преобразование Фурье можно рассматривать как частный случай преобразования Лапласа.

Изложенные выше методы преобразований позволяют сделать следующие заключения:

1) интегро-дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими уравнениями;

2) отпадает операция определения постоянных интегрирования, так как начальные условия учитываются с самого начала при нахождении изображения искомой величины;

3) операция определения корней характеристического уравнения полностью сохраняется.

Наиболее удобным для решения практических задач является метод преобразования Лапласа. В несколько измененной форме он может быть применен к исследованию дискретных САУ (см. гл. 7).

Рассмотрим использование метода преобразований Лапласа для решения дифференциального уравнения вида

Преобразуем это дифференциальное уравнение, используя прямое преобразование Лапласа (4.9) и теоремы 1 и 2. В результате получим алгебраическое уравнение, записанное для изображений:

где - сумма всех членов, содержащих начальные условия.

Отсюда находится изображение искомой функции

При нулевых начальных условиях выражения (4.41) и (4.42) упрощаются:

Зная изображение искомой функции можно найти оригинал например, по таблицам изображений.

Если изображение искомой величины представляет собой рациональную алгебраическую дробь, то ее стараются записать в виде суммы простых дробей с постоянными коэффициентами. Обратное преобразование для каждой из этих простых дробей может быть получено из таблиц, а окончательное выражение оригинала представлено как сумма отдельных найденных значений. Для определения оригинала можно также воспользоваться теоремой разложения.

Если изображение Лапласа представляет собой рациональную алгебраическую дробь вида

где — полиномы относительно — постоянные вещественные коэффициенты, причем и характеристическое уравнение не содержит нулевых и кратных корней, то в этом случае оригинал

где — корни характеристического уравнения

Если знаменатель изображения Лапласа (4.45) имеет один нулевой корень, то

При этом оригинал определяется по формуле

Если знаменатель изображения Лапласа (4.45) имеет два нулевых корня, то

Выражение (4.49) в этом случае может быть представлено в виде следующей суммы простых дробей:

где

Далее при переходе к оригиналу используется таблица изображений.