Гармоническая линеаризация.

Из числа различных приближенных методов расчета нелинейных систем наибольшее распространение получил метод гармонической линеаризации нелинейностей.

Пусть требуется определить периодические решения системы (8.76), (8.77). На основе высказанных выше соображений допускаем,

что искомое периодическое движение на выходе линейной части системы может быть достаточно хорошо описано синусоидой

где — неизвестные пока амплитуда и частота.

Величины а и со можно было бы искать из условия обращения уравнений движения в тождества при подстановке в них решения (8 78). Но так как периодические решения нелинейных систем лишь приближенно можно считать синусоидальными, то тождества из уравнений движения при подстановке в них приближенного решения (8.78) никогда не получится. Прежде чем осуществить такую подстановку, необходимо как-то упростить нелинейное уравнение.

Если на вход нелинейного звена с уравнением (8.76) подается периодическое воздействие, то, очевидно, и выходная координата этого звена будет некоторой периодической функцией времени с тем же периодом. Следовательно, если существует периодическое решение то и функция также будет периодической с периодом определяемым частотой со предполагаемого решения (8.78) (если амплитуда колебаний входной величины не выходит за пределы мертвой зоны нелинейной характеристики, то выходная величина будет тождественно равна нулю; этот случай опускаем, так как он сводится к рассмотрению обычной разомкнутой линейной системы). Разложим периодическую функцию в ряд Фурье:

в котором коэффициенты вычисляются по известным формулам:

Если первый член разложения (8.79) отличен от нуля, то колебания величины несимметричны относительно оси времени. Это будет иметь место при несимметричной нелинейной характеристике а также при наличии постоянного внешнего воздействия, приложенного к системе. Полагая, что нелинейная характеристика симметрична и внешнее воздействие отсутствует, имеем

Высшие гармоники ряда (8.79) с частотами отбросим на основании того, что, по допущению, они плохо пропускаются линейной частью системы и поэтому мало влияют на выходную координату линейной части, т. е. на искомое решение (8.78). В результате вместо выражения (8.79), подставляя в формулы для значение согласно (8.78) и значение будем иметь

Последнее уравнение можно упростить, перейдя в выражениях для коэффициентов ряда Фурье к новой независимой переменной при этом изменяются верхние пределы интегрирования вместо они становятся равными в результате получаем

где введены обозначения

Определим вид уравнения звена (приближенно заменяющего нелинейное звено), на вход которого поступает воздействие (8.78), а на выходе возникает установившийся сигнал (8.80). Простейшим образом это можно сделать так. Из формулы (8.78) имеем

Подставляя в выражение (8.80) значения и из равенств (8.78), (8.81), получаем

Рис. 8.24. К пояснению смысла гармонической линеаризации идеальной релейной характеристики

В итоге уравнение нелинейного звена (8.76) приняло вид линейного уравнения (8.83). Проделанная операция перехода от нелинейного уравнения к линейному называется гармонической линеаризацией, а коэффициенты — коэффициентами гармонической линеаризации.

Характерной особенностью уравнения (8.83) гармонически линеаризованной функции является зависимость коэффициентов этого уравнения от неизвестных амплитуды и частоты искомого периодического решения.

Вычислить интегралы (8.81) для конкретно заданной функции несложно. Для типовых нелинейных характеристик значения коэффициентов и определены (табл. 8.1). В частности, для идеальной релейной характеристики (рис. 8.24) имеем

(кликните для просмотра скана)

Продолжение табл. 8.1. (см. скан)

где с — значение согласно релейной характеристике при

Следовательно, гармонически линеаризованное уравнение в данном, случае будет

Из рис. 8.24 следует, что при гармонической линеаризации релейной характеристики ломаная заменяется прямой линией направленной под таким углом, чтобы эта прямая приближенно заменяла тот участок ломаной, который охватывается колебаниями сданной амплитудой а. Аналогичный геометрический смысл имеет гармоническая линеаризация и других нелинейностей.