§ 2.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ

В том случае, когда в уравнении (2.4) функция представляет собой нелинейную функцию своих аргументов, динамика работы звена описывается нелинейным дифференциальным уравнением, а само звено называется нелинейным динамическим звеном. Если же описание динамики работы звена приводит к линейному дифференциальному уравнению [функция в уравнении (2.4) линейно зависит от своих аргументов], то звено называется линейным динамическим звеном. Заметим, что линейность статической характеристики звена, вообще говоря, не дает основания отнести его к разряду линейных, ибо встречаются случаи, когда нелинейные свойства звена проявляются только в неустановившихся режимах.

Исследование нелинейных дифференциальных уравнений существенно труднее и сложнее, чем линейных. Поэтому в тех случаях, когда это возможно, всегда стремятся линеаризовать нелинейное дифференциальное уравнение, т. е. заменить его приближенно некоторым линейным дифференциальным уравнением, решение которого достаточно близко к решению исходного нелинейного уравнения.

Простейший способ линеаризации основан на разложении нелинейной функции в ряд Тэйлора с последующим отбрасыванием нелинейных членов разложения. Рассмотрим этот способ применительно к уравнению (2.5), имеющему первый порядок. Все изложенное будет справедливо и для уравнений более высокого порядка.

Линеаризация нелинейного уравнения всегда производится относительно некоторого, заранее выбранного, режима работы динамического звена. Чаще всего в качестве режима, принимаемого при линеаризации за исходный, выбирается установившийся режим, характеризуемый постоянством всех обобщенных координат. Применительно к уравнению (2.5) уравнения исходного режима математически могут быть записаны так:

Здесь — постоянные величины, связанные между собой уравнением

Выбрав исходный режим, для линеаризации уравнения (2.5) поступают следующим образом.

1. Представляют все входящие в рассмотрение координаты в виде

где

В уравнениях отклонения соответствующих координат от их значений (2.8), принятых за исходные при линеаризации. Соотношения (2.10) — (2.12) позволяют вместо полных значений координат оперировать их отклонениями (или приращениями)

2. Левую часть уравнения (2.5) разлагают в ряд Тэйлора относительно точки с координатами соответствующей исходному режиму. В результате уравнение (2.5) переписывается в виде

В соответствии с правилом разложения функции нескольких переменных в ряд Тэйлора частные производные, входящие в левую часть уравнения (2.16), вычисляются в точке, соответствующей режиму, принятому за исходный при линеаризации, так что, например, означает частную производную от функции по переменной в которую после вычисления подставлены значения Так как в исходном режиме все координаты постоянны, то все фигурирующие в уравнении (2.16) частные производные представляют собой просто некоторые числа, зависящие от выбора исходного режима (т. е. от чисел Символом в уравнении (2.16) обозначен остаточный член разложения, содержащий вторую и более высокие степени отклонений и их произведения, умноженные на соответствующие частные производные. Функция обладает тем свойством, что

3. Отклонения координат их исходных значений считают малыми («гипотеза малых отклонений») и на этом основании в левой части уравнения (2.16) пренебрегают членами, содержащими вторую и более высокие степени отклонений и их произведения

как членами более высокого порядка малости по сравнению с членами, содержащими отклонения в первой степени, т. е. полагают

Учитывая, кроме того, соотношение (2.9), окончательно получают уравнение

Это уравнение есть линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Оно представляет собой результат линеаризации нелинейного уравнения (2.5) относительно исходного режима (2.8).

Из изложенного следует, что необходимым условием линеаризации является разложимость функции фигурирующей в левой части нелинейного дифференциального уравнения, в ряд Тэйлора в окрестности точки с координатами, соответствующими режиму, выбранному при линеаризации за исходный. Если такое разложение невозможно (например, функция недифференцируема по какой-либо из координат), то рассмотренный метод линеаризации не имеет силы, и исходное нелинейное уравнение даже приближенно не может быть заменено линейным. В этом случае говорят, что динамическое звено, описываемое таким уравнением, является существенно нелинейным, т. е. нелинеаризуемым. Деление динамических звеньев на линеаризуемые и нелинеаризуемые связано со способом линеаризации, основанным на разложении нелинейной функции в ряд Тэйлора. В главе 8 будут рассмотрены методы, позволяющие осуществить линеаризацию и существенно нелинейных уравнений (методы гармонической линеаризации).

Основным допущением, которое позволяет перейти от нелинейного уравнения (2.5) к линейному уравнению (2.19), является допущение о малости отклонений всех входящих в рассмотрение координат от их значений, принятых при линеаризации за исходные. Поэтому линеаризованное уравнение (2.19) дает возможность исследовать лишь малые отклонения величин, характеризующих работу динамического звена, от исходного режима. Однако и такое рассмотрение в ряде случаев очень полезно.

Запись линейного дифференциального уравнения в форме (2.19) является довольно громоздкой и неудобной для практического применения. В автоматике при записи линейных уравнений принято выходную величину звена (или ее отклонение) и ее производные записывать в левой части уравнения, а все остальные члены переносить в правую часть. В такой форме записи уравнение (2.19) примет следующий вид:

где

С целью сокращения выкладок в теории автоматического управления широко используется символический метод записи линейных дифференциальных уравнений, в основе которого лежит условное (символическое) обозначение производных и интеграла:

Здесь

— так называемый символ дифференцирования. Его не следует путать с комплексной переменной, фигурирующей в преобразовании Лапласа (см. § 4.2), которую иногда также обозначают буквой В отличие от преобразования Лапласа (и родственных ему операционных методов) символический метод, сокращая и унифицируя запись дифференциальных уравнений и их систем, не содержит никаких приемов, облегчающих их решение.

При использовании символических обозначений уравнение (2.20) записывается следующим образом:

Уравнение (2.25) часто переписывают в виде

чисто формально отрывая символ дифференцирования от обозначения дифференцируемой функции.

Если обозначить

то уравнение (2.26) запишется еще более компактно:

Уравнения (2.26) и (2.30) следует рассматривать просто как удобную сокращенную запись уравнения (2.20). Никакого другого смысла они не имеют. Полиномы (2.27)-(2.29), входящие в уравнение (2.30), называются символическими полиномами. Пользуясь преобразованием Лапласа, нетрудно доказать, что символические полиномы можно складывать и перемножать по правилам действий с обычными полиномами. Это обстоятельство в ряде случаев позволяет значительно упростить и облегчить преобразования систем дифференциальных уравнений (например, «свертывание» системы дифференциальных уравнений в одно уравнение — см. гл. 3).

В дальнейшем дифференциальные уравнения линейных звеньев систем управления будут записываться преимущественно в форме

(2.30). При этом часто оказывается удобным разделить все члены дифференциального уравнения на коэффициент при выходной координате звена (или ее отклонении). Так, поделив все члены уравнения (2.26) на коэффициент си получим уравнение

Здесь

Поскольку соединять знаками сложения, вычитания и равенства можно лишь величины одинаковой размерности, все члены уравнения (2.31) имеют размерность величины Учитывая, что Мсек, нетрудно получить соотношения для размерностей коэффициентов уравнения (2.31):

Коэффициент называется постоянной времени звена, описываемого уравнением (2.31), а величины и — коэффициентами передачи звена по входной величине и по возмущению.

Уравнение (2.31) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка в стандартной форме записи. Аналогично к стандартному виду преобразуются и уравнения более высоких порядков.

Рассмотрим снова какой-либо установившийся режим работы звена, характеризующийся постоянством координат Уравнения показывают, что отклонения координат от исходных значений в таком режиме также будут постоянны. Отсюда следует, что и линеаризованное уравнение (2.31) для установившегося режима упрощается:

Положим, кроме того что Тогда

Это уравнение является линейным. Полные значения переменных в рассматриваемом режиме связаны нелинейной зависимостью:

Сопоставление уравнений (2.36) и (2.35) позволяет дать простую геометрическую интерпретацию процессу линеаризации. На самом деле, уравнение (2.36) в плоскости координат определяет статическую характеристику звена, соответствующую значению Эта характеристика может, например, иметь вид кривой, изображенной на рис. 2.3. Выбор режима (2.8), принимаемого за исходный при

линеаризации, на этой характеристике соответствует выбору точки с координатами Переход от полных значений координат к их приращениям в плоскости геометрически означает перенос начала координат из точки О в точку В координатах уравнение (2.35) представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент

Соотношение (2.37) определяет производную функции заданной в неявной форме уравнением (2.36). Поэтому окончательно

Рис. 2.3. К пояснению геометрического смысла линеаризации

Таким образом, геометрический смысл линеаризации применительно к установившимся режимам состоит в том, что реальная статическая характеристика звена заменяется касательной к ней, проведенной в точке соответствующей режиму, выбранному за исходный при линеаризации. В том случае, когда касательную к статической характеристике в точке провести нельзя (характеристика в этой точке имеет излом, разрыв, неоднозначность и т. д.), линеаризация относительно выбранного исходного режима невозможна. Поэтому часто уже по виду статической характеристики звена удается судить о возможности или невозможности линеаризации описывающего его дифференциального уравнения.

Рис. 2.3 наглядно показывает, что чем меньше отклонение величины от исходного значения тем ближе расположена касательная к статической характеристике звена и тем точнее, следовательно, линеаризация.

Коэффициент в уравнении (2.35) может быть определен графоаналитически при помощи соотношения

где — коэффициент, учитывающий масштабы, принятые по осям координат; — угол, составленный касательной к статической характеристике звена в точке с осью абсцисс.

Наличие второго члена в правой части уравнения (2.34) ничего принципиально нового не вносит и свидетельствует лишь о том, что в установившемся режиме отклонение выходной величины звена от исходного значения в общем случае определяется отклонением не только входной величины но и дополнительного воздействия (например, какого-либо возмущения).

Аналогично может быть проиллюстрирован процесс перехода от нелинейного дифференциального уравнения (2.5) к линейному уравнению (2.19). Суть перехода заключается здесь в приближенной замене многомерной поверхности, определяемой уравнением (2.5), касательной к ней многомерной плоскостью, задаваемой уравнением (2.19). В силу громоздкости и малой наглядности геометрических построений в многомерном пространстве такой подход не приносит практической пользы и подробно здесь не рассматривается.

Из сопоставления уравнений (2.5) и (2.19) видно, что результат линеаризации (2.19) может быть написан сразу, так как левая часть линеаризованного уравнения представляет собой сумму произведений частных производных функции по каждому из ее аргументов на отклонения этих аргументов от исходных значений.

Этот результат, полученный на примере дифференциального уравнения первого порядка, сохраняет силу для уравнений произвольного порядка. В частности, для уравнения (2.6) линеаризованное уравнение запишется в виде

Уравнение (2.40) можно записать в форме (2.30), если обозначить

где

Здесь символические полиномы имеют первую степень относительно Ранее отмечалось, что признаком стандартной формы записи дифференциальных уравнений является равенство единице первых отличных от нуля коэффициентов при младших степенях во всех участвующие в рассмотрении символических полиномах. Пусть, например, Тогда результат линеаризации уравнения (2.6) может быть записан следующим образом:

Поделив обе части последнего уравнения на коэффициент будем иметь

Предположим дополнительно, что Тогда уравнение (2.45) можно представить в виде

Здесь

причем нетрудно показать, что

Уравнение (2.45) представляет собой один из примеров стандартной формы записи линейного дифференциального уравнения второго порядка. Как и для уравнения первого порядка, коэффициенты , имеющие размерность времени, называются постоянными времени звена, а величины и — коэффициентами передачи звена.

При пользовании стандартной формой записи удобно считать все постоянные времени и коэффициенты передачи звена неотрицательными числами. Поэтому, например, в том случае, когда при вычислениях по формулам (2.44) окажется, что уравнение (2.40) следует записывать так:

где коэффициенты

являются положительными.

Для уравнения (2.4) произвольного порядка результат линеаризации имеет следующий вид:

Обозначив

уравнение (2.47) можно записать так:

Уравнение (2.51) после введения символических полиномов

приводится к уравнению (2.30). Рассмотренные ранее линейные уравнения 1 и 2-го порядков являются частным случаем уравнения (2.51) при Это позволяет считать уравнение (2.51) общим уравнением обыкновенного линейного звена при наличии одного возмущающего воздействия. В правой части уравнения (2.51) фигурируют внешние воздействия умноженные на соответствующие символические многочлены. Поэтому по аналогии в том случае, когда на звено действует несколько возмущений общее уравнение звена можно записать следующим образом:

Здесь

некоторые многочлены степени относительно символа дифференцирования

Если возмущения отсутствуют или не учитываются, то общее уравнение линейного звена будет таким:

или, в развернутом виде,

Запишем последнее уравнение в стандартной форме. Пусть, например, — целое неотрицательное число. Пусть, далее, . Тогда уравнение (2.58) может быть переписано так:

Разделив правую и левую части этого уравнения на коэффициент получим

Здесь

Очевидно, что

В том случае, когда входная и выходная величины звена имеют одинаковую размерность,

Величина в уравнении (2.59) называется коэффициентом передачи звена. Для выяснения его физического смысла будем считать входное воздействие постоянным: Тогда в правой части уравнения (2.59) все производные будут равны нулю и оно запишется в следующем виде:

Ограничимся рассмотрением установившегося режима работы звена. С математической точки зрения такой режим представляет собой частное решение дифференциального уравнения (2.67). Так как характеристическое уравнение звена

(s — комплексная переменная) имеет -кратный корень то

где — некоторые числа. Поэтому

Отсюда следует, что установившийся режим работы звена описывается уравнением

из которого

Таким образом, для звена, описываемого уравнением (2.59), коэффициент передачи равен отношению производной от установившегося значения выходной величины к входному постоянному сигналу. При

при

при

и т. д. Часто при коэффициент обозначают просто буквой

Для сокращенной записи уравнения (2.59) целесообразно ввести следующие обозначения:

Тогда уравнение (2.59) запишется так:

Многочлены (2.70) и (2.71), фигурирующие в стандартной форме записи дифференциального уравнения звена, обладают тем свойством, что

В дальнейшем для сокращения записи будем опускать символ приращения Д перед обозначениями входных и выходных величин звена и возмущающих воздействий. При этом не следует забывать, что в тех случаях, когда линейное уравнение получается в результате линеаризации какого-либо нелинейного соотношения, входящие в него переменные обязательно представляют собой отклонения соответствующих координат от их значений, принятых за исходные при линеаризации.