ГЛАВА 11. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 11.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

Проектируемая система управления должна удовлетворять вполне определенным техническим требованиям. Обычно технические требования задаются в виде предельно допустимых значений тех или иных характеристик, например, погрешность системы, вероятность отказа, расход энергии на управление не должны превышать заданных предельных значений. Такой способ задания технических требований предоставляет проектировщику известную свободу действий, так как в рамках этих требований нужный результат может быть получен различными способами. Однако развитие техники сопровождается повышением требований, предъявляемых к системам управления, и это обстоятельство делает все более актуальной задачу выявления способов создания систем управления, обладающих наилучшими в каком-либо отношении характеристиками, т. е. систем, оптимальных в определенном смысле. В качестве критерия оптимальности может быть принята любая характеристика, задаваемая в технических требованиях. Так, можно проектировать системы, оптимальные по точности, расходу энергии на управление, надежности и т. д. При этом система, оптимальная по какому-либо одному критерию, должна удовлетворять всем остальным техническим требованиям. Поэтому оптимизацию системы управления следует рассматривать как реализацию наилучших показателей по выбранному критерию при заданных ограничениях на остальные характеристики системы.

Умение создавать оптимальные системы управления позволяет на каждом уровне развития техники наиболее успешно решать поставленные задачи. В тех же случаях, когда создание оптимальной системы управления по каким-либо соображениям нецелесообразно, она служит эталоном для сравнительной оценки возможных реализаций.

Проектирование системы управления складывается из двух этапов: выбора способа преобразования информации о состоянии управляемого объекта в управляющие воздействия (алгоритма или закона управления) и разработки аппаратуры, получающей эту информацию и преобразующей ее в управляющие воздействия. Поэтому и оптимизация системы управления складывается из оптимизации алгоритма управления и оптимизации аппаратурного решения. Такое распределение вполне естественно, поскольку каждая из этих двух задач отличается присущими ей характерными особенностями. При выборе

алгоритма управления можно использовать математическую модель управляемого процесса, что позволяет применять в процессе проекту рования аналитический аппарат и современные вычислительные машины. Задача выбора аппаратурной реализации все еще в значительной степени остается инженерной задачей, в процессе решения которой вычислительные машины могут быть использованы в основном для расчета схем и сравнительной оценки различных конструктивных решений. И если возможность оптимизации алгоритма управления определяется уровнем развития теории управления, то возможность оптимального конструктивного решения в большой степени зависит от опыта и уровня подготовки инженера-проектировщика и технологических возможностей производства. В данной главе рассматривается лишь задача оптимизации алгоритма управления.

Для оптимизации алгоритма управления необходимо в качестве исходной информации иметь математическую модель управляемой системы. Основой такой модели служат уравнения, отражающие взаимовлияние независимых переменных, определяющих текущее состояние управляемого объекта (параметров состояния), в качестве которых могут быть выбраны рассогласования между заданными и текущими значениями фазовых координат системы управляющих воздействий внешних возмущающих воздействий и внутренних помех Чаще всего управляемый процесс можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида

со случайными начальными условиями Правые части уравнений (11.1) представляют собой в общем случае нелинейные функции своих аргументов. Достаточно часто управляемый процесс с приемлемой точностью можно описать линейными дифференциальными уравнениями:

где коэффициенты в некоторых уравнениях могут быть равны нулю.

Алгоритм управления определяется характером преобразования параметров состояния в управляющие воздействия Каждый из параметров состояния измеряется чувствительными элементами со случайной погрешностью Поэтому преобразованию подвергаются не сами параметры состояния а их измеренные значения Набор функционалов, определяющих вид преобразования измеренных фазовых координат в управляющие воздействия, называется законом управления. В общем случае закон управления можно записать следующим образом:

Наиболее простым по структуре и, следовательно, по характеру преобразования информации является линейный закон управления

Поскольку параметры состояния объекта являются случайными функциями времени, то в качестве критерия оптимальности обычно выбирается математическое ожидание некоторого функционала определяемого в момент окончания процесса управления

При оптимизации системы по точности функционал может представлять собой или квадратичную функцию фазовых координат системы в момент окончания процесса управления или интеграл от квадратичной функции фазовых координат

где весовые коэффициенты или функции.

При оптимизации системы по расходу энергии на управление критерий оптимальности зависит только от управляющих воздействий

Ограничения в системе управления накладываются как на случайные, так и на детерминированные величины. Ограничения первого типа в общем случае имеют вид

или

Ко второму типу относятся ограничения на параметры системы, например, на передаточные числа закона управления (11.3):

где — заданные наименьшее и наибольшее значения передаточных чисел.

Оптимизация алгоритма управления, таким образом, сводится к отысканию вида нелинейных, в общем случае, функционалов при котором для процесса управления, описываемого системой уравнений (11.1), выполняются ограничения (11.5) и (11.6) и достигает экстремального значения функционал (11.4). В такой общей постановке задача не может быть решена известными методами.