Приближенная оценка устойчивости состояния равновесия. Синтез корректирующих элементов.

Если характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы имеет пару чисто мнимых корней, то, как установлено, исходная нелинейная система имеет периодическое решение, приближенно описываемое синусоидой. Если названное характеристическое уравнение чисто мнимых корней не имеет, исходная система не имеет таких периодических решений. Естественно предположить, что при тех значениях параметров (коэффициентов), при которых характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, но пара корней расположена в плоскости корней близко к мнимой оси, в системе вместо периодического движения. приближенно описываемого синусоидой, будет близкое к нему медленно затухающее колебательное движение. Таким образом, если в системе нет других, существенно несинусоидальных периодических движений, условия устойчивости состояния равновесия исходной нелинейной системы могут быть приближенно определены как условия, при которых гармонически линеаризованная система удовлетворяет одному из критериев устойчивости линейных систем.

Зная приближенные условия существования периодических движений и условия устойчивости состояния равновесия, можно синтезировать корректирующие элементы с целью подавления автоколебаний.

Пусть в системе (8.77), (8.83) имеется устойчивое периодическое движение. Разомкнутая на выходе нелинейного элемента система (см. рис. 8.23) имеет логарифмические частотные характеристики

где

Характеристики последовательного корректирующего элемента определяются равенствами:

где — желаемые частотные характеристики, выбираемые по частотному критерию устойчивости (см. гл. 5) так, чтобы состояние равновесия системы было устойчивым. По характеристикам подбирается корректирующий элемент.

Для синтеза корректирующих элементов могут быть использованы и другие критерии устойчивости, в частности, критерий В. М Попова (см. § 8.2).

Пример 8.5. Стабилизируем состояние равновесия системы, рассмотренной в примере 8.4. Для характеристического уравнения (8.96) предпоследний определитель Гурвица

Из выражения (8.100) видно, что при любых значениях положительных параметров всегда можно выбрать величину амплитуды а столь малой, чтобы было Следовательно, система (8.94) без корректирующих элементов является принципиально автоколебательной. Для стабилизаций системы введем дополнительную жесткую обратную связь. Тогда уравнения движения вместо (8.94) запишутся так:

где коэффициент, подлежащий определению из условия устойчивости состояния равновесия Гармоническая линеаризация нелинейного элемента системы (8.101) дает

Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы запишется в виде

Условия устойчивости по Гурвицу имеют вид

где

Рассмотрим коэффициент при в выражении (8.102):

Если коэффициент выбрать таким, чтобы выполнялось неравенство тогда за счет выбора достаточно большого всегда можно обратить в нуль; характеристическое уравнение будет иметь мнимые корни, а система — периодическое решение. Если же коэффициент в выражении (8.103) выбрать так, чтобы удовлетворялось неравенство то при любом значении получим Следовательно, условие устойчивости состояния равновесия систем (8.101) запишется в виде