ГЛАВА 7. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

§ 7.1. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

К дискретным системам относятся релейные, импульсные и цифровые системы автоматического управления и регулирования (см. § 1.12).

Релейные системы являются существенно нелинейными и исследуются методами, излагаемыми в гл. 8. В связи с этим далее термин «дискретные автоматические системы» (ДАС) относится только к импульсным и цифровым системам управления, рассматриваемым в линейном приближении.

Общим для импульсных и цифровых систем является наличие эффекта квантования сигналов по времени. Импульсная и цифровая системы регулирования отличаются от непрерывных систем наличием в канале управления импульсного элемента (ИЭ), преобразующего непрерывную величину в последовательность импульсов той или иной формы.

Любая дискретная система может рассматриваться в виде совокупности импульсного элемента и некоторой непрерывной части, объединяющей все элементы и устройства непрерывного действия.

В реальных импульсных системах регулирования ИЭ обычно включается в цепь сигнала ошибки (см. рис. 1.48). Поэтому в большинстве случаев функциональная схема замкнутой импульсной системы с одним импульсным элементом ИЭ и непрерывной частью НЧ может быть приведена к виду, представленному на рис. 7.1.

В реальных цифровых системах управления цифровая управляющая машина (ЦУМ) может выполнять функции задающего, сравнивающего и корректирующего устройств в различных вариантах применения [60].

В наиболее общем варианте при исследовании динамики цифровых систем ЦУМ заменяется эквивалентной схемой, показанной на рис. 7.2, а, где импульсный элемент ИЭ символизирует дискретный характер входных сигналов машины; дискретный фильтр ДФ имитирует процесс выработки управляющих сигналов (процесс изменения закона модуляции импульсов, поступающих на его вход); релейный элемент РЭ с

Рис. 7.1. Функциональная схема замкнутой импульсной системы

многоступенчатой релейной характеристикой (см. рис. 1.41, б) учитывает эффект квантования выходных сигналов ЦУМ по уровню; экстраполятор Э отображает процесс преобразования дискретных значений управляющего сигнала в непрерывный сигнал.

Рис. 7.2. Эквивалентные схемы ЦУМ

Присущий цифровым системам эффект квантования по уровню делает их существенно нелинейными и резко усложняет их исследование. Так как обычно число разрядов кода ЦУМ для представления переменных, определяемое точностью их задания в системе, является большим, т. е. шаг квантования по уровню значений переменных является малым при большом числе уровней квантования (см. рис.

1.41, б), то эффект квантования сигналов по уровню может не учитываться. Для многих цифровых систем число разрядов ЦУМ определяется не задачами управления, а другими задачами — расчетными, информационно-логическими и пр. Поэтому основные свойства цифровых систем определяются эффектом квантования по времени, при этом эффект квантования по уровню вызывает лишь побочные явления, которые в линейном приближении могут не учитываться.

Рис. 7.3. Функциональные схемы замкнутых цифровых систем

При таком подходе эквивалентная схема ЦУМ будет иметь вид, показанный на рис. 7.2, б.

Функциональная схема цифровой системы для наиболее общего случая, когда на ЦУМ возлагаются функции задающего, сравнивающего и корректирующего устройств, представлена на рис. 7.3, а. Как видно, при пренебрежении эффектом квантования по уровню Цифровые системы сводятся к импульсным. Характерной особенностью импульсных систем, эквивалентных цифровым, является наличие дискретных фильтров и экстраполяторов. Эквивалентность импульсных и цифровых систем и особенности цифровых систем нарядно видны в случае, когда ЦУМ выполняет лишь функцию корректирующего устройства (рис. 7.3, б). Функциональная схема импульсной системы (см. рис. 7.1) может быть получена из схемы, показанной на рис. 7.3, б, путем исключения дискретного фильтра и экстраполятора.

Количественное изучение свойств дискретных систем управления требует перехода от функциональных схем к структурным. Методика

такого перехода при исследовании ДАС аналогична методике, применяемой в непрерывных системах (см. гл. 3), однако следует учитывать структурные особенности специфичных для дискретных систем элементов (импульсных элементов, дискретных фильтров и экспраполяторов).

Импульсные элементы.

Рассмотрим лишь наиболее распространенный импульсный элемент, осуществляющий амплитудно-импульсную модуляцию второго рода (см. § 1.12).

Рис. 7.4. Пояснение принципа работы ИЭ

Пусть в соответствии с рис. 7.1 х обозначает входную, выходную переменные элемента (рис. 7.4, а). Обозначим через функцию, характеризующую форму выходных импульсов. Физически она представляет собой первый импульс, возникающий на выходе импульсного элемента при или при любом входном сигнале, удовлетворяющем условию

Форма импульсов может быть самой разнообразной — прямоугольной, треугольной, экспоненциальной, колокольной и т. д. В любом случае

для (рис. 7.4, б). Здесь — период повторения импульсного элемента, у — скважность и — длительность импульсов

функция формы позволяет весьма просто написать аналитическое выражение для выходной величины импульсного элемента. На самом деле, при произвольном входном сигнале выходная величина импульсного элемента для моментов времени

описывается уравнением

(рис. 7.4, в). Здесь через обозначены импульсы, возникающие на выходе импульсного элемента в моменты времени Из формулы (7.1) следует, что для Поэтому выходная величина импульсного элемента для произвольного момента времени

Нетрудно заметить, что в правой части соотношения (7.4) фигурирует не функция а только ее дискретные значения Это свидетельствует о том, что импульсный элемент рассматриваемого типа реагирует не на весь входной сигнал, а только на его значения в дискретные моменты времени Иными словами, импульсный элемент выделяет из входного сигнала только его дискретные значения Информация о поведении сигнала в промежутках между моментами времени после прохождения этого сигнала через импульсный элемент теряется. В частности, выходная величина импульсного элемента будет одной и той же для самых различных сигналов если значения этих сигналов в моменты времени одинаковы.

Назовем идеальным импульсным элементом такой элемент, для которого функция формы представляет собой единичную -функцию (1.55): Условимся графически изображать такой импульсный элемент в виде ключа (рис. 7.4, г). Выходная величина идеального импульсного элемента представляет собой последовательность модулированных по «площади» -функций (рис. 7.4, д):

Реального физического смысла идеальный импульсный элемент не имеет и представляет собой просто полезную математическую абстракцию.

Введем еще понятие формирующего элемента, которым будем называть динамическое звено с передаточной функцией

(кликните для просмотра скана)

равной преобразованию Лапласа от функции описывающей форму импульса на выходе импульсного элемента (табл. 7.1).

Рассмотрим теперь последовательное соединение идеального импульсного и формирующего элементов (рис. 7.5). При таком соединении на вход звена с передаточной функцией (7.6) поступает последовательность модулированных -функций (7.5). Из формулы (7.6) следует, что функция представляет собой функцию веса формирующего элемента, т. е. реакцию формирующего элемента на единичную -функцию (см. § 2.5). Так как звено с передаточной функцией (7.6) является линейным, то его реакция на сигнал будет определяться соотношением

Поэтому для выходной величины схемы, изображенной на рис. 7.5, оказывается справедливой формула (7.4).

Рис. 7.5. Последовательное соединение идеального импульсного и формирующего элементов

Из приведенных рассуждений следует, что реальный импульсный элемент, осуществляющий амплитудно-импульсную модуляцию второго рода, может быть заменен эквивалентной ему в смысле прохождения сигнала структурной схемой, состоящей из последовательного соединения идеального импульсного и формирующего элементов. Такая замена впервые была предложена советским ученым Я. 3. Цыпкиным. Она приносит большую пользу при исследовании дискретных систем.

Заменив в системе, показанной на рис. 7.1, импульсный элемент его эквивалентной структурной схемой, получим эквивалентную структурную схему замкнутой импульсной системы с одним импульсным элементом, изображенную на рис. 7.6, а, где обозначает передаточную функцию непрерывной части (возмущающие

воздействия на этом рисунке для упрощения не показаны). Формирующий элемент и непрерывная часть в совокупности образуют так называемую приведенную непрерывную часть ПНЧ, передаточная функция которой (рис. 7.6, б)

К структурной схеме, показанной на рис. 7.6, б , может быть приведено большое число конкретных систем импульсного регулирования и управления.

Рис. 7.6. Эквивалентные структурные схемы замкнутой импульсной системы

Например, в импульсной системе регулирования температуры (см. рис. 1.48) используется импульсный элемент с прямоугольными импульсами скважности у (см. рис. 1.42, ж), передаточная функция формирующего элемента которого приведена в табл. 7.1. Если пренебречь инерционностью усилителя и двигателя и считать, что динамика объекта регулирования достаточно точно описывается уравнением апериодического звена первого порядка, то для рассматриваемой системы передаточная функция непрерывной части

где — коэффициент передачи непрерывной части, представляющий собой произведение коэффициентов передачи мостовой измерительной схемы, гальванометра, потенциометра, усилителя, двигателя, редуктора и объекта регулирования; Т — постоянная времени объекта регулирования.

Рис. 7.7. Эквивалентная структурная схема импульсной системы регулирования температуры

Поэтому эквивалентная структурная схема импульсной системы регулирования температуры принимает вид, показанный на рис. 7.7, где означает отклонение координаты движка задающего потенциометра мостовой схемы от некоторого исходного положения, у — отклонение температуры в отсеке от значения,

принятого за исходное при линеаризации уравнений объекта регулирования, отклонение напряжения, поступающего с потенциометра П на вход усилителя У.

М В цифровых автоматических системах (см. рис. 7.3) импульсный элемент лишь символизирует дискретный характер входных импульсов цифровой управляющей машины или устройства, поэтому форма его выходных импульсов во многих практических случаях не имеет значения, и, следовательно, с расчетной точки зрения удобно его представить в виде идеального импульсного элемента.

Рис. 7.8. Эквивалентные структурные схемы дискретного фильтра (а) и цифровой автоматической системы (б)

Дискретные фильтры.

На вход дискретного фильтра (см. рис. 7.2, 7.3) поступает последовательность модулированных -функций. В соответствии с алгоритмом управления дискретный фильтр изменяет закон модуляции последовательности входных идеальных импульсов, не меняя дискретной природы сигналов. Поэтому выходная переменная дискретного фильтра представляется также последовательностью -функций, что позволяет представить дискретный фильтр в виде эквивалентной структурной схемы, состоящей из некоторого непрерывного звена с передаточной функцией на выходе которого установлен идеальный импульсный элемент ИИЭ. работающий синхронно и синфазно с входным идеальным импульсным элементом (рис. 7.8, а). Для этой схемы предполагается, что время, затрачиваемое дискретным фильтром на производство вычислений, мало в сравнении с периодом дискретности

Экстраполяторы.

Экстраполятор предназначен для преобразования выходного сигнала дискретного фильтра в непрерывную величину, поступающую на вход непрерывной части системы. Возможные способы экстраполяции весьма разнообразны и сводятся к построению некоторой непрерывной функции времени (обычно многочлена), значения которой для достаточно близки к значениям сигнала, вырабатываемого цифровой машиной (при принятой идеализации — к значениям «площадей» -функций на выходе дискретного фильтра).

Простейший способ экстраполяции заключается в запоминании каждого значения дискретного сигнала на весь период дискретности 7V Такое запоминание может быть реализовано путем преобразования идеальных (мгновенных) импульсов на выходе дискретного фильтра в импульсы единичной скважности, длительность которых равна периоду повторения. В этом частном (но наиболее часто встречающемся) случае экстраполирующее устройство представляет собой формирующий элемент и может быть охарактеризовано передаточной функцией (7.6). В большинстве современных цифровых систем выходные данные цифровой машины преобразуются в последовательность прямоугольных импульсов единичной скважности (фиксируются на весь период дискретности). При этом передаточная функция формирующего устройства, эквивалентного экстраполятору (см. табл. 7.1),

Экстраполятор с передаточной функцией (7.9) часто называется экстраполятором нулевого порядка.

Рис. 7.9. Эквивалентные структурные схемы цифровой системы регулирования скорости вращения электрического двигателя (а) и цифровой следящей системы (б)

Все сказанное позволяет представить эквивалентную структурную схему цифровой автоматической системы в виде, показанном на рис. 7.8, б. Еще раз подчеркнем, что эта схема не учитывает эффект квантования входных сигналов по уровню. Кроме того, в ней не учтено время, затрачиваемое цифровой машиной на обработку поступающей информации. Как и в импульсных системах (см. рис. 7.6), на рис. 7.8, б формирующий элемент и непрерывная часть могут быть объединены в приведенную непрерывную часть с передаточной функцией (7.7).

К структурной схеме, показанной на рис. 7.8, б, могут быть сведены многие конкретные цифровые системы регулирования и управления. В качестве примера показаны эквивалентные структурные схемы цифровой системы регулирования скорости вращения электрического двигателя (см. рис. 1.52 и 7.9, а) и цифровой следящей системы (см. рис. 1.53 и 7.9, б). В обеих системах используется простейший

закон экстраполяции, которому соответствует передаточная функция (7.9). Так как цифровое вычислительное устройство в каждой из этих систем используется только для вычисления сигнала ошибки, то и дискретный фильтр на эквивалентных структурных схемах отсутствует. Что же касается уравнений (и соответствующих им передаточных функций) непрерывных частей, то они подробно рассмотрены в гл. 3 и не требуют пояснений. Заметим только, что (в отличие от непрерывного случая) коэффициент передачи непрерывной части на рис. 7.9 включает в себя коэффициенты передачи цифровых преобразователей (ИРС на рис. 1.52 и на рис. 1.53), цифрового сравнивающего устройства и преобразователя кода в напряжение.

Рис. 7.10. Эквивалентные структурные схемы одного контура цифровой системы угловой стабилизации

На рис. 7.10, а изображена эквивалентная структурная схема одного контура цифровой системы стабилизации угла тангажа жесткой статически нейтральной баллистической ракеты. Предполагается, что цифровая управляющая машина (БЦМ на рис. 1.54) выполняет функции корректирующего устройства. В этом случае

где — коэффициент передачи непрерывной части; Т — постоянная времени, характеризующая инерционность привода .

Если коррекция динамических свойств системы осуществляется с помощью непрерывных устройств, то и структурная схема Цифрового контура угловой стабилизации приобретает вид, показанный на рис. 7.10, б, где

Здесь — постоянная времени непрерывного корректирующего устройства, характеризующая интенсивность введения производной 13 закон регулирования. В этом случае ЦУМ или цифровое управляющее устройство выполняет функции сравнивающего устройства.

В некоторых случаях исследование дискретной автоматической системы можно приближенно свести к исследованию эквивалентной непрерывной системы, в которой совокупность импульсного элемента

и экстраполятора заменяется непрерывным звеном с передаточной функцией и сумматором, на который помимо основного сигнала поступает помеха от эффекта квантования по времени входного сигнала (рис. 7.11).

Рис. 7.11. Структурная схема не. прерывной системы, эквивалентной дискретной системе

Такое представление возможно в случаях, когда частота квантования по времени в системе велика по сравнению с частотой входного сигнала.