§ 5.3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

Критерий устойчивости был предложен советским ученым А. В. Михайловым в 1936 г. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду кривой Михайлова, представляющей собой годограф лектора

при изменении от 0 до

Годограф а представляет собой характеристический полином замкнутой системы при подстановке

Выделив в правой части (5.18) вещественную и мнимую составляющие, можно записать

где

Кривая Михайлова строится в плоскости по точкам в соответствии с выражением (5.19). Критерий Михайлова формулируется таким образом: для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы вектор а при изменении от 0 до повернулся на угол против часовой стрелки, где — степень характеристического уравнения исследуемой системы. Следовательно, кривая Михайлова для устойчивых САУ последовательно проходит число квадрантов, равное порядку дифференциального уравнения САУ.

Для доказательства критерия представим характеристический полином в виде

где — корни характеристического уравнения.

Кривая Михайлова может быть описана уравнением

Результирующий угол поворота вектора а при изменении от 0 до обозначим через

где — составляющие угла поворота вектора а определяемые сомножителями

Нетрудно видеть, что каждый сомножитель соответствует повороту радиус-вектора при изменении от 0 до на угол в случае вещественных корней и повороту на угол

Рис. 5.4. Кривые Михайлова для устойчивых САУ

Рис. 5.5. Границы устойчивости: а — апериодическая; б — колебательная

Для комплексного корня, где Паре комплексных корней соответствуют два сомножителя, поворачивающие радиус-вектор на угол Положительные повороты (против часовой стрелки) имеют место при отрицательной вещественной части корня.

Таким образом, если характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь корней с положительной вещественной частью, то каковы бы ни были эти корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма углов поворотов, равная — Всем остальным корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворотов, равная

Следовательно, результирующий угол поворота вектора а при изменении от 0 до [см. (5.22)]

Для устойчивой системы все корни характеристического уравнения должны иметь отрицательные вещественные части При этом

Итак, для устойчивой системы кривая Михайлова должна проходить последовательно квадрантов (рис. 5.4). Кривая Михайлова всегда начинается с точки, расположенной на вещественной

тельной полуоси При причем при четном кривая уходит в бесконечность вдоль вещественной оси X, а при нечетном вдоль оси

Если система находится на апериодической границе устойчивости, то свободный член характеристического полинома и кривая Михайлова идет из начала координат (рис. 5.5, а). При колебательной границе устойчивости кривая Михайлова проходит через начало координат (рис. 5.5, б). Кривая Михайлова, соответствующая неустойчивой системе, показана на рис. 5.6.

Рис. 5.6. Кривая Михайлова для неустойчивой САУ

Рис. 5.7. Структурная схема системы стабилизации углового движения баллистической ракеты

Пример 5.2. Исследуем устойчивость системы угловой стабилизации статически неустойчивой баллистической ракеты (см. пример 1.15), структурная схема которой показана на рис. 5.7. Здесь приняты следующие обозначения: коэффициенты передачи автомата стабилизации: коэффициент передачи и постоянные времени рулевого привода; — коэффициент передачи и постоянная времени объекта управления (ракеты) [4].

Передаточная функция разомкнутой системы

Характеристический полином замкнутой системы

или

Для построения кривой Михайлова выделим вещественную и мнимую части:

где

и зададимся следующими числовыми значениями: сек.

Изменяя от 0 до построим кривую Михайлова (рис. 5.8). Ее вид соответствует устойчивой системе.