§ 2.3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Рассмотрим динамическое звено (см. рис. 2.1), работа которого описывается линейным дифференциальным уравнением

где

В уравнениях (2.75)-(2.77) — вещественные числа; — целые неотрицательные числа и

Уравнение (2.74) исчерпывающе характеризует динамические свойства звена, так как позволяет найти реакцию звена на любые входные сигналы и возмущения Для этого должны быть заданы законы изменения внешних воздействий как функции времени и начальные условия

характеризующие состояние динамического звена в момент приложения внешних воздействий. Если при звено находилось в покое, то

Обычно начальные условия (2.79) называются нулевыми начальными условиями.

Для описания динамических свойств линейных звеньев в теории автоматического управления, кроме дифференциальных уравнений, широко используются передаточные функции, временные и частотные характеристики, выгодно отличающиеся от дифференциальных уравнений значительно большей наглядностью и (для частотных и временных характеристик) возможностью экспериментального определения.

Передаточной функцией звена по какому-либо внешнему воздейстствию называется отношение преобразования Лапласа (см. § 4.2) выходной величины звена к преобразованию Лапласа рассматриваемого внешнего воздействия. При этом все другие внешние воздействия полагаются равными нулю, а преобразования Лапласа выходной величины и внешнего воздействия вычисляются при нулевых начальных значениях самих функций и их производных.

Из приведенного определения следует, что для любого звена с одной выходной величиной число передаточных функций равно числу внешних воздействий. В частности, для звена, изображенного на рис. 2.1, можно ввести передаточную функцию по входной величине

и передаточную функцию по возмущению

В уравнениях (2.80) и (2.81) s — комплексная переменная, а

— преобразования Лапласа (изображения) соответствующих функций времени (оригиналов).

Применительно к уравнению (2.74) при вычислении изображений (2.82)-(2.84) следует считать выполненными следующие соотношения:

Часто передаточная функция (2.80) называется основной передаточной функцией или просто передаточной функцией звена.

Соотношения (2.80) и (2.81) представляют собой определения соответствующих передаточных функций звена. Использовать их для непосредственного вычисления передаточных функций явно нецелесообразно.

Покажем, что передаточные функции звена весьма просто могут быть найдены, если известно дифференциальное уравнение звена. Для этого преобразуем уравнение (2.74) по Лапласу. Учитывая теорему линейности, получим

По теореме об изображении производной

так как выполнены соотношения (2.85) и (2.86). Поэтому уравнение (2.87) приводится к виду

или к виду

где

Несмотря на формальное сходство, уравнения (2.74) и (2.88) резко отличаются друг от друга. Уравнение (2.74) представляет собой дифференциальное уравнение порядка относительно неизвестной функции времени тогда как уравнение (2.88) является алгебраическим уравнением первой степени относительно неизвестного изображения

Соотношение (2.88) называется уравнением динамического звена относительно изображений при нулевых начальных значениях. Оно легко может быть получено из дифференциального уравнения звена (2.74) путем формальной замены символа дифференцирования комплексной переменной и функций времени — их изображениями Разрешив уравнение (2.88) относительно изображения выходной величины звена, получим

При из (2.92) следует, что передаточная функция звена

Положив в соотношении найдем передаточную функцию звена по возмущению

Формулы (2.93) и (2.94) показывают, что для определения передаточной функции звена по какому-либо внешнему воздействию необходимо:

а) записать дифференциальное уравнение звена в символической форме;

б) разделить формально символический многочлен, стоящий в правой части дифференциального уравнения звена множителем перед

интересующим нас внешним воздействием, на символический многочлен, фигурирующий в левой части дифференциального уравнения звена;

в) в полученном результате заменить символ дифференцирования комплексной переменной

Например, для звена, описываемого дифференциальным уравнением (2.31), передаточная функция

а передаточная функция по возмущению

Для звена, описываемого уравнением (2.72),

Функция (2.95) называется передаточной функцией звена в стандартной форме записи.

При выводе формул (2.93) и (2.94) конкретный вид функций не оговаривался. Отсюда следует, что передаточная функция линейного звена по какому-либо внешнему воздействию не зависит от закона изменения этого воздействия и определяется только свойствами самого звена.

Соотношения (2.93) и (2.94) показывают, что передаточные функции обыкновенных линейных звеньев являются дробно-рациональными функциями комплексной переменной числитель и знаменатель которых представляют собой многочлены относительно с вещественными коэффициентами, зависящими от параметров звена. Как правило, у передаточных функций звеньев степень числителя не превосходит степени знаменателя Чаще всего степень числителя меньше степени знаменателя и передаточные функции являются правильными дробно-рациональными функциями

Сопоставив формулы (2.93) и (2.94), нетрудно убедиться в том, что все передаточные функции какого-либо конкретного звена имеют один и тот же знаменатель.

Многочлен (2.89), фигурирующий в знаменателе передаточных функций звена, называется характеристическим полиномом этого звена, а уравнение

— характеристическим уравнением звена. Для звена, описываемого дифференциальным уравнением порядка, характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение степени и имеет корней: среди которых могут быть как вещественные, так и комплексно-сопряженные.

Корни многочлена, стоящего в знаменателе передаточной функции, называются полюсами этой передаточной функции; корни многочлена, стоящего в числителе передаточной функции, —нулями этой передаточной функции.

Из алгебры известно, что многочлены с могут быть представлены в следующем виде:

где — корни многочлена

Поэтому передаточная функция (2.93)

откуда следует, что задание нулей и полюсов определяет передаточную функцию звена с точностью до постоянного множителя

В том случае, когда вещественные части всех полюсов передаточной функции отрицательны, т. е.

звено называется устойчивым. В устойчивых звеньях переходная составляющая выходной величины с течением времени затухает (см. гл. 5).

Ранее показано, что по дифференциальному уравнению звена его передаточные функции определяются весьма просто. Покажем, что так же просто можно получить дифференциальное уравнение звена по известным передаточным функциям.

Пусть, например, на звено действует единственное возмущение и известны основная передаточная функция звена (2.93) и передаточная функция звена по возмущению (2.94). Тогда на основании соотношения (2.92) можно найти изображение выходной величины звена

Умножив обе части соотношения (2.100) на характеристический полином звена с получим уравнение (2.88). Поэтому для нахождения дифференциального уравнения звена достаточно в уравнении (2.88) заменить комплексную переменную символом дифференцирования и изображения — оригиналами . В результате будем иметь уравнение (2.74).

Обратимся вновь к соотношению (2.100) и запишем его следующим образом:

Здесь

— составляющая изображения выходной величины звена, обусловленная входной величиной;

— составляющая изображения выходной величины звена, обусловленная возмущающим воздействием.

Формулы (2.102) и (2.103) удобно изображать графически так, как это показано на рис. 2.4, а, б, где выходная величина каждого из прямоугольников представляет собой результат произведения входной величины на передаточную функцию, записанную внутри прямоугольника. Условимся элемент суммирования обозначать графически в виде перечеркнутого кружка (рис. 2.4, в).

Рис. 2.4. Структурная схема динамического звена для случая одного входного и одного возмущающего воздействий: а, б — графическое изображение отдельных составляющих преобразования Лапласа выходной величины звена; в, г — графическое изображение сложения и вычитания двух переменных; д — структурная схема звена

Этот же символ в случае необходимости используется и для обозначения операции вычитания, только тогда сектор, соответствующий вычитаемому, изображается зачерненным (рис. 2.4, г).

После введения упомянутых выше графических обозначений основное уравнение звена (2.100) может быть изображено в виде, показанном на рис. 2.4, д. Этот рисунок представляет собой так называемую структурную схему динамического звена.

Структурной схемой системы автоматического управления, элемента автоматики или какого-либо другого устройства называется схема, показывающая, из каких звеньев состоит это устройство и как эти звенья соединены между собой. С принципиальной точки зрения структурная схема представляет собой просто графическое изображение уравнений, связывающих преобразования Лапласа входных и выходных переменных. Благодаря своей наглядности структурные схемы широко применяются в теории автоматического управления. Часто на структурных схемах входными и выходными величинами звеньев условно считают не изображения, а сами функции — оригиналы (см. рис. 2.4, д). Это позволяет в случае необходимости приводить непосредственно на структурных схемах графики изменения во времени входных и выходных величин звеньев. При этом не следует забывать, что соотношения вида (2.102) и (2.103), лежащие в основе

построения структурных схем, справедливы только для изображений и не верны для оригиналов.

Выше подробно рассмотрен случай, когда к звену приложено два внешних воздействия. Все полученные результаты легко обобщаются и на случай большего числа внешних воздействий.

Пусть, например, к звену приложены возмущения (рис. 2.5, а), и работа звена описывается дифференциальным уравнением (2.55).

Рис. 2.5. Звено с несколькими возмущениями (а) и его структурная схема (б)

Преобразовав это уравнение по Лапласу при нулевых начальных значениях функций и их производных соответствующего порядка, получим, что

где

— передаточная функция звена по возмущению

Как видно, и в этом случае изображение выходной величины звена представляет собой сумму произведений изображений внешних воздействий на соответствующие передаточные функции (рис. 2.5, б), что является следствием справедливого для линейных звеньев принципа суперпозиции (наложения).