§ 10.2. ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И СПОСОБЫ ИХ ПОЛУЧЕНИЯ

Пусть работа САУ описывается нелинейными дифференциальными уравнениями вида

с начальными условиями

(см. гл. 8). Предположим, что функции являются непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам. При этом правые и левые части уравнений (10.16) можно дифференцировать по параметрам . В частности, продифференцировав по а и воспользовавшись соотношением

получим

Уравнения (10.18) называются уравнениями чувствительности.

Обычно начальные условия (10.17) не зависят от параметров . Вследствие этого начальные условия для уравнений чувствительности оказываются нулевыми. Но на практике могут встретиться случаи, когда начальные условия (10.17) определяются параметрами системы [47]. При этом начальные условия для уравнений чувствительности определяются соотношениями

Для линейной системы, описываемой уравнениями

имеем следующие уравнения чувствительности:

Если же система описывается одним дифференциальным уравнением (3.55) то получаем

Из рассмотрения уравнений (10.18), (10.21) и (10.22) видно, что их правые части зависят от решения исходных уравнений (10.16), (10.20) и (3.55). Поэтому уравнения чувствительности необходимо решать совместно с уравнениями исходной системы. При этом все уравнения интегрируются при номинальных (неварьированных) значениях параметров систем.

Получим уравнения чувствительности для системы (10.1), описываемой дифференциальным уравнением

В соответствии с (10.22) имеем

В рассмотренных случаях функции чувствительности являются непрерывными функциями времени. В работе [47] показано, что для многих реальных систем, называемых разрывными (релейные, импульсные и др.) функции чувствительности имеют разрывы первого рода.

Разрывные системы на различных интервалах времени описываются различными системами дифференциальных уравнений:

Переход от одной системы уравнений (10.23) к другой осуществляется в моменты времени называемые моментами переключения. Эти моменты находятся из условий переключения

причем функции являются непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам.

Для разрывных систем функции чувствительности на каждом из интервалов находятся как решения дифференциальных уравнений

Переход от одного уравнения (10.25) к другому осуществляется с учетом разрывов:

где

Доказательство приведенных соотношений можно найти в работах [47, 24]. Для наглядности рассмотрим пример простейшей разрывной системы.

Пример 10.1. Пусть релейная система описывается уравнением

причем

Составим уравнения чувствительности по параметру т. е. для функции и Моменты переключения определяются из соотношений На первом интервале

откуда

Из выражения для следует, что переключение возможно лишь при выполнении условий

На втором интервале

откуда видно, что функция только один раз пересекает ось абсцисс. При этом уравнения чувствительности на интервалах времени соответственно имеют вид

Соотношения (10.26) в данном случае дают следующие равенства:

откуда

и

Для рассматриваемого примера нетрудно получить выражения для функций чувствительности.

В интервале

откуда с учетом выражения для

При

В результате

В общем случае функции чувствительности можно определять с помощью уравнений чувствительности путем интегрирования последних совместно с уравнениями исходной системы на цифровых или аналоговых вычислительных машинах.

При использовании аналоговых машин целесообразно разрабатывать раздельно структурные схемы для моделирования уравнений исходной системы и уравнений чувствительности. Это позволяет иногда существенно упростить аппаратурную реализацию моделей исходной системы и моделей чувствительности, особенно при исследовании чувствительности линейных систем. В теории чувствительности в связи с этим возникло даже отдельное направление, в основе которого лежат структурные методы и метод графов чувствительности. Основные положения этого направления изложены в работах [14, 47].