Области устойчивости систем автоматического управления.

При проектировании систем автоматического управления сравнительно часто требуется определить влияние каких-либо варьируемых параметров на устойчивость. В этом случае строят область устойчивости системы в пространстве этих варьируемых параметров.

Рис. 5.8. Кривая Михайлова к примеру 5.2

Рис. 5.9. Область устойчивости к примеру 5.2

Область устойчивости определяется совокупностью значений параметров системы, при которых система устойчива. Все пространство вне области устойчивости называется областью неустойчивости. Точки ее соответствуют значениям параметров, при которых система неустойчива. Если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, то подобная система автоматического управления называется структурно неустойчивой. Чтобы сделать структурно неустойчивую систему устойчивой, необходимо изменить ее структуру, сделать же ее устойчивой только за счет изменения параметров невозможно. Если число варьируемых параметров САУ равно то в общем случае построение областей устойчивости ведется в -мерном пространстве. Однако для решения практических задач обычно не превышает трех. Так, в случае двух варьируемых параметров (А и В) область устойчивости изображается на плоскости этих параметров (рис. 5.9). На рисунке линией изображена граница устойчивости, отделяющая область устойчивых систем от неустойчивых. Вдоль границы устойчивости наносится штриховка, которая обращена в сторону области устойчивости. Область устойчивости может быть как замкнутой, так и незамкнутой.

При трех варьируемых параметрах (А, В и С) построение области устойчивости ведется в трехмерном пространстве, по координатным осям откладываются варьируемые параметры. Граница устойчивости при этом представляет собой трехмерную поверхность. При практических расчетах эта поверхность преобразуется в гиперплоскость

путем сечения ее плоскостями при фиксированных значениях одного из трех параметров.

Построение границы устойчивости осуществляется с помощью критериев устойчивости.

Критерий Михайлова широко применяется для построения областей устойчивости в плоскости двух изменяемых параметров А и если они входят в коэффициенты характеристического уравнения системы линейно или в виде произведения Колебательной границе устойчивости соответствует прохождение кривой Михайлова через начало координат, т. е. а Это требование может быть удовлетворено определенным выбором значений параметров А и В. Уравнение кривой Михайлова при этом распадается на два уравнения:

причем здесь со дает значение чисто мнимого корня, т. е. частоту незатухающих колебаний системы. Выражения (5.25) являются параметрическими уравнениями границы устойчивости. Следует заметить, что такой подход к выделению областей устойчивости был предложен в 1940 г. А. А. Соколовым и затем в 1948 г. Ю. И. Неймарком и назван методом -разбиения. Область устойчивости определяется правилом штриховки, которое состоит в том, что при увеличении штриховка наносится с левой стороны, если определитель

и штриховка наносится справа, если этот определитель отрицателен. При этом штриховка оказывается обращенной внутрь области устойчивости.

В качестве примера рассмотрим выделение области устойчивости в плоскости двух варьируемых параметров для системы стабилизации движения баллистической ракеты (см. рис. 5.7).

Уравнения, определяющие колебательную границу устойчивости, имеют вид

откуда

Изменяя от 0 до строим по полученным уравнениям в плоскости А, В границу -разбиения (см. рис. 5.9). Уравнение, определяющее апериодическую границу устойчивости, находится путем

приравнивания нулю свободного члена характеристического уравнения, т. е.

Для выявления направления штриховки найдем знак определителя :

Так как определитель отрицателен, то штриховка наносится с правой стороны при увеличении от 0 до (см. рис. 5.9). Полученная область устойчивости является замкнутой.