Определение амплитуды и частоты периодического решения.
Итак, нелинейной системы (8.76), (8.77) выполнен переход к гармонически линеаризованной системе (8.77), (8.83), в которой коэффициенты зависят от неизвестных амплитуды а и частоты 
предполагаемого периодического решения (8.78). Если найдем значения а и со, то тем самым определим решение (8.78). Для определения а и со применяют различные способы.
Первый способ. При фиксированных значениях а и со, соответствующих какому-то периодическому решению, система (8.77), (8.83) представляет собой однородную линейную систему с постоянными коэффициентами. Такая система будет иметь периодическое решение тогда и только тогда, когда она находится на границе устойчивости, т. е. когда среди корней ее характеристического уравнения имеются чисто мнимые.
Подставляя значение 
из выражения (8.83) в уравнение (8.77), получаем
Отсюда характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы:
Если можно подобрать такие положительные вещественные числа 
чтобы уравнение (8.89) имело чисто мнимые корни, то периодическое решение (8.78) существует; если таких чисел подобрать нельзя — система не имеет периодических решений. Может оказаться, что имеется несколько значений 
при которых уравнение (8.89) имеет мнимые корни; это будет означать, что система (8.77), (8.83) имеет несколько периодических решений вида (8.78).
Подставляя в уравнение (8.89) значение 
получаем полином с комплексными коэффициентами
в котором разделяем вещественную и мнимую части:
Комплексная величина равна нулю, если отдельно равны нулю ее вещественная и мнимая части. Таким путем получаем систему из двух уравнений:
Дозволяющую определить (если решения существуют) две неизвестные — амплитуду а и частоту со периодического решения (8.78).
Второй способ. В сложных случаях рассматриваемую задачу удобнее решать графически. Запишем уравнение (8.90) в виде
Левая часть уравнения (8.93) при 
определяет а.ф.х. линейной части системы (кривая 1 на рис. 8.25, а). Правая часть при 
задает в комплексной плоскости другую кривую (кривая
2), Построив эти кривые с отметками значений частоты на первой из них и значений амплитуды — на второй, в точке их пересечения (если она существует) определим значения 
Третий способ. Выражение (8.91) при значениях 
и любом фиксированном а представляет собой уравнение кривой Михайлова
Рис. 8.25. Определение амплитуды и частота периодического решения: а — с помощью частотных характеристик; 
— с помощью кривой Михайлова
При прохождении кривой Михайлова через начало координат имеем 
при этом 
согласно (8.92), 
— частота периодического решения. Следовательно, нужно задаваться рядом значений амплитуды а и строить для каждого из них кривую Михайлова, пока не получим кривую, проходящую через начало координат. Амплитуда, при которой построена эта последняя кривая, даст значение 
а частота 
определится в точке пересечения кривой с началом координат. Для сокращения вычислений целесообразно воспользоваться интерполяцией (см. рис. 8.25, б), производимой по формулам
где 
— значения амплитуд, при которых кривые Михайлова проходят вблизи начала координат; со 
— снятые с графика значения частот на этих кривых вблизи начала координат. Измеряя длины отрезков АО, АВ и др. на рисунке, из последних формул находим 
Найденные периодические решения гармонически линеаризованной системы будут приближенно представлять собой периодические решения исходной нелинейной системы.
