§ 5.4. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

В 1932 г. американский ученый Найквист предложил критерий для исследования устойчивости усилителей с обратной связью. В 1938 г. А. В. Михайлов обобщил его на системы автоматического управления. Критерий Найквиста основан на рассмотрении а.ф.х. (см. § 2.6) разомкнутой системы, по виду которой судят об устойчивости соответствующей замкнутой системы. А.ф.х. разомкнутой системы может быть получена как аналитически, так и экспериментально. Это обстоятельство выгодно отличает критерий Найквиста от ранее изложенных.

Рассмотрим функцию

где — передаточная функция разомкнутой системы.

Рациональная дробь (5.27) содержит в числителе характеристический полином замкнутой системы а в знаменателе — характеристический полином разомкнутой системы Положим тогда

При изменении от 0 до угол поворота вектора

где

Известно, что в устойчивой системе [см. (5.24)]. Угол можно определить из более общего выражения (5.23), т. е.

Итак

Следовательно, для устойчивой системы вектор при изменении от 0 до повернется на угол в положительном направлении — против часовой стрелки. Так как функция отличается

от функции на —1 (рис. 5.10), то для устойчивой замкнутой системы вектор при изменении от 0 до повернется на угол относительно точки Иными словами, а.ф.х. разомкнутой системы должна охватывать раз точку Если а.ф.х. строится для диапазона изменения от до то угол охвата точки увеличивается вдвое, т. е.

На основании изложенного критерий устойчивости Найквиста может быть сформулирован следующим образом.

Рис. 5.10. К построению а. разомкнутой системы

Рис. 5.11. Годографы устойчивой замкнутой системы: а — разомкнутая система неустойчива ; б — разомкнутая система устойчива

Замкнутая САУ устойчива, если при изменении от 0 до разомкнутой системы [годограф ] охватывает 1/2 раз точку в положительном направлении, где I — число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Если разомкнутая система устойчива то для устойчивости замкнутой системы нужно, чтобы а.ф.х. разомкнутой системы не охватывала точку . На рис. 5.11 показан вид годографов соответствующих устойчивой замкнутой системе.

Некоторые особенности применения критерия Найквиста появляются при исследовании устойчивости систем, нейтральных в разомкнутом состоянии, т. е. имеющих нулевые корни, а также систем, находящихся в разомкнутом состоянии на колебательной границе устойчивости, т. е. имеющих чисто мнимые корни.

Например, если имеет один нулевой корень, то годограф разомкнутой системы при обращается в бесконечность (рис. 5.12, а). В этом случае для сохранения формулировки критерия, справедливой для устойчивых в разомкнутом состоянии систем, включают нулевой корень в левую полуплоскость, огибая его справа окружностью бесконечно малого радиуса (рис. 5.12, б). При этом годограф уходящий при в бесконечность, дополняется частью окружности бесконечно большого радиуса, которая проводится по часовой стрелке от положительной вещественной полуоси, т. е. на угол (см. рис. 5.12, а).

При нескольких нулевых корнях, т. е. при более высоком порядке астатизма системы, угол дополнения а.ф.х. окружностью

бесконечно большого радиуса составляет (рис. 6.13)

где — порядок астатизма (число нулевых корней характеристического уравнения разомкнутой системы) [33].

Аналогичные дополнения а.ф.х. дугами окружности бесконечно большого радиуса приходится производить и при наличии чисто мнимых корней в характеристическом уравнении разомкнутой системы, так как в этих случаях а.ф.х. также имеют разрывы непрерывности.

Рис. 5.12. Годограф системы, имеющей в разомкнутом состоянии один нулевой корень (а) и отнесение нулевого корня к левой полуплоскости (б)

Рис. 5.13. А. ф. х. нейтральных разомкнутых систем, дополненных дугами бесконечного радиуса: а — система с астатизмом второго порядка; б — система с астатизмом третьего порядка

Дополнение производится полуокружностью бесконечно большого радиуса по часовой стрелке, начиная от той ветви а.ф.х. (имеющей разрыв непрерывности), которая соответствует меньшим частотам. Например, если то имеет разрыв непрерывности при так как при этом делает скачок на 180° (рис. 5.14).

Широкое распространение критерий Найквиста получил при суждении об устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам (см. § 2.8). Возможность такого суждения вытекает из того, что а.ф.х. разомкнутой системы

полностью определяется парой характеристик или (что то же) Точкам пересечения годографа с отрезком отрицательной вещественной полуоси соответствуют точки, для которых Точки л.ф.х. , для которых и в которых она пересекает при увеличении со прямые снизу вверх, условимся называть отрицательными переходами, а сверху вниз — положительными переходами л.ф.х. (рис. 5.15). Тогда критерий устойчивости может быть

сформулирован следующим образом. САУ устойчива, если разность между положительными и отрицательными переходами л.ф.х. равна 1/2 где I — число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Рис. 5.14. А. ф. х. разомкнутой системы, имеющей пару мнимых корней: а — замкнутая система устойчива; б — замкнутая система неустойчива

Для частного случая, когда (система устойчива или нейтральна в разомкнутом состоянии), получается, что система устойчива, если разность между положительными и отрицательными переходами равна нулю.

Рис. 5.15. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам: а — замкнутая система устойчива (1=0); б — замкнутая система неустойчива

При анализе многоконтурных систем для оценки устойчивости замкнутой системы на практике иногда оказывается удобнее рассматривать не функцию а обратную ей функцию Это может быть целесообразно, например, когда из-за наличия местных обратных связей знаменатель передаточной функции разомкнутой системы не разлагается на простые сомножители, а числитель представляет собой число или состоит из простых сомножителей и имеет более низкий порядок. В этом случае инверсная (обратная) передаточная функция оказывается значительно проще для анализа, чем выражение

Кривая, описываемая концом вектора при изменении частоты от до называется обратной (инверсной) а.ф.х. Инверсная а.ф.х. строится по выражению обратной частотной передаточной функции.

При использовании инверсной а.ф.х. формулировка критерия Найквиста изменяется. Для случая устойчивой в разомкнутом состоянии

системы, когда все полюсы функции и все нули функции расположены в левой полуплоскости, критерий Найквиста формулируется следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы обратная а.ф.х. охватывала точку с координатами при изменении частоты от до