Фазовые траектории линейной системы второго порядка. Типы особых точек.

Пусть система описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами

Обозначая, как и выше,

из уравнения (8.48) имеем

Разделив уравнение (8.50) на (8.49), получим

Согласно выражению (8.51), на фазовой плоскости имеет точка покоя с координатами

Сделаем в уравнении (8.51) замену переменных

Дифференцируя выражение (8.52) имеем

Подставляя выражения (8.52) и (8.53) в (8.51), получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Разлагая знаменатель левой части на множители, находим

где и — корни характеристического уравнения

В общем интеграле уравнения (8.55) заменим на тогда получим уравнение семейства фазовых траекторий, вид которых будет зависеть от типа корней

1. Пусть корни чисто мнимые: Тогда переходный процесс изображается синусоидой (рис. 8.13, а), амплитуда и начальная фаза которой определяются начальными условиями. Уравнение (8.55) принимает вид

Интегрируя это уравнение, находим

Обозначая и учитывая выражение (8.52), из уравнения (8.58) получаем уравнение семейства эллипсов

с полуосями Следовательно, фазовые траектории представляют собой семейство замкнутых кривых, вложенных одна в другую Особая точка типа начала координат фазового портрета, изображенного на рис. 8.13, б называется центром.

2. Пусть — комплексные с отрицательными вещественными частями. В таком случае переходный процесс будет затухающим колебательным (рис. 8.14, а). Если имеется график этого

Рис. 8.13. Периодический процесс (а) и фазовые траектории центра (б)

процесса, то фазовую траекторию можно построить и не прибегая к интегрированию уравнений. В рассматриваемом случае для этого достаточно снять с графика процесса соответствующие друг другу значения , где а — угол наклона касательной к кривой, участке ОА функция возрастает, здесь Этому соответствует участок фазовой траектории на рис. 8.14, б.

Рис. 8.14. Затухающий колебательный процесс (а) и фазовая траектория устойчивого фокуса (б)

В точке А координата достигает максимума, здесь производная обращается в нуль, и т. Как видим, затухающему колебательному процессу соответствует фазовая траектория в виде спирали, «наматывающейся» на начало координат. Особая точка, на которую «наматываются» спиралями все расположенные в ее окрестности траектории, называется устойчивым фокусом.

Рис. 8.15. Расходящийся колебательный процесс (а) и фазовая траектория неустойчивого фокуса (б)

3. Пусть корни уравнения (8.56) — комплексные с положительными вещественными частями. Тогда процесс будет колебательным расходящимся, фазовая траектория будет иметь вид спирали, «разрывающейся» от начала координат (рис. 8.15). Особая точка, соответствующая этому случаю, называется неустойчивым фокусом.

4. Пусть корни уравнения (8.56) — вещественные отрицательно. в этом случае процесс будет монотонным (кривая 1 на рис. 8.16, а), с перерегулированием (кривая 2) или промежуточной формы (кривая 3). Монотонному процессу на фазовой плоскости соответствует траектория, вливающаяся в начало координат, при движении вдоль которой все время уменьшается (кривая V на рис. 8.16, б).

Процессу с перерегулированием соответствует вливающаяся в начало координат траектория, при движении вдоль которой меняет знак (кривая 2). Процессу промежуточной формы соответствует траектория, при движении вдоль которой знака не меняет, но меняет знак (кривая 3). Во всех случаях функция лишь в пределе, обращается в нуль, поэтому и изображающая точка попадает в начало координат лишь при Особая точка такого типа называется устойчивым узлом.

Рис. 8.16. Апериодические затухающие процессы (а) фазовые траектории устойчивого узла (б)

Рис. 8.17. Апериодические расходящиеся процессы (а) и фазовые траектории неустойчивого узла (б)

5. Если корни уравнения (8.56) — вещественные положительные, то переходный процесс будет апериодическим расходящимся (рис. 8.17, а). Этому процессу соответствует фазовая траектория, выходящая из начала координат и удаляющаяся в бесконечность (рис. 8.17, б). Начало координат фазовой плоскости представляет здесь особую точку, называемую неустойчивым узлом.

Рис. 8.18. Фазовые траектории седла

6. Пусть, наконец, уравнение (8.56) имеет вещественные корни разных знаков. В этом случае особая точка называется седлом; в нее входят две и из нее выходят две траектории, остальные траектории с ней не касаются (рис. 8.18).

Пусть теперь исходная система уравнений имеет вид

где — постоянные коэффициенты; — члены, обращающиеся в начале координат в нуль по крайней мере как бесконечно малые второго порядка. Пусть — корни характеристического уравнения линейной системы, получаемой из (8.60) при т. е. корни уравнения

причем будем полагать выполненным неравенство

Французский математик А. Пуанкаре показал, что нелинейная система (8.60) имеет особую точку одного из рассмотренных выше типов: 1) устойчивый фокус (если — комплексные с отрицательными вещественными частями); 2) неустойчивый фокус (если — комплексные с положительными вещественными частями); 3) устойчивый узел (если вещественные отрицательные); 4) неустойчивый узел (если — вещественные положительные); 5) седло (если — вещественные разных знаков); 6) если и — чисто мнимые, то возможен центр или фокус в зависимости от вида функций Р и . В каждом случае фазовые траектории системы (8.60) в малой окрестности особой точки аналогичны соответствующим траекториям линейной системы.