Главная > Основы автоматического регулирования и управления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Фазовые траектории линейной системы второго порядка. Типы особых точек.

Пусть система описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами

Обозначая, как и выше,

из уравнения (8.48) имеем

Разделив уравнение (8.50) на (8.49), получим

Согласно выражению (8.51), на фазовой плоскости имеет точка покоя с координатами

Сделаем в уравнении (8.51) замену переменных

Дифференцируя выражение (8.52) имеем

Подставляя выражения (8.52) и (8.53) в (8.51), получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Разлагая знаменатель левой части на множители, находим

где и — корни характеристического уравнения

В общем интеграле уравнения (8.55) заменим на тогда получим уравнение семейства фазовых траекторий, вид которых будет зависеть от типа корней

1. Пусть корни чисто мнимые: Тогда переходный процесс изображается синусоидой (рис. 8.13, а), амплитуда и начальная фаза которой определяются начальными условиями. Уравнение (8.55) принимает вид

Интегрируя это уравнение, находим

Обозначая и учитывая выражение (8.52), из уравнения (8.58) получаем уравнение семейства эллипсов

с полуосями Следовательно, фазовые траектории представляют собой семейство замкнутых кривых, вложенных одна в другую Особая точка типа начала координат фазового портрета, изображенного на рис. 8.13, б называется центром.

2. Пусть — комплексные с отрицательными вещественными частями. В таком случае переходный процесс будет затухающим колебательным (рис. 8.14, а). Если имеется график этого

Рис. 8.13. Периодический процесс (а) и фазовые траектории центра (б)

процесса, то фазовую траекторию можно построить и не прибегая к интегрированию уравнений. В рассматриваемом случае для этого достаточно снять с графика процесса соответствующие друг другу значения , где а — угол наклона касательной к кривой, участке ОА функция возрастает, здесь Этому соответствует участок фазовой траектории на рис. 8.14, б.

Рис. 8.14. Затухающий колебательный процесс (а) и фазовая траектория устойчивого фокуса (б)

В точке А координата достигает максимума, здесь производная обращается в нуль, и т. Как видим, затухающему колебательному процессу соответствует фазовая траектория в виде спирали, «наматывающейся» на начало координат. Особая точка, на которую «наматываются» спиралями все расположенные в ее окрестности траектории, называется устойчивым фокусом.

Рис. 8.15. Расходящийся колебательный процесс (а) и фазовая траектория неустойчивого фокуса (б)

3. Пусть корни уравнения (8.56) — комплексные с положительными вещественными частями. Тогда процесс будет колебательным расходящимся, фазовая траектория будет иметь вид спирали, «разрывающейся» от начала координат (рис. 8.15). Особая точка, соответствующая этому случаю, называется неустойчивым фокусом.

4. Пусть корни уравнения (8.56) — вещественные отрицательно. в этом случае процесс будет монотонным (кривая 1 на рис. 8.16, а), с перерегулированием (кривая 2) или промежуточной формы (кривая 3). Монотонному процессу на фазовой плоскости соответствует траектория, вливающаяся в начало координат, при движении вдоль которой все время уменьшается (кривая V на рис. 8.16, б).

Процессу с перерегулированием соответствует вливающаяся в начало координат траектория, при движении вдоль которой меняет знак (кривая 2). Процессу промежуточной формы соответствует траектория, при движении вдоль которой знака не меняет, но меняет знак (кривая 3). Во всех случаях функция лишь в пределе, обращается в нуль, поэтому и изображающая точка попадает в начало координат лишь при Особая точка такого типа называется устойчивым узлом.

Рис. 8.16. Апериодические затухающие процессы (а) фазовые траектории устойчивого узла (б)

Рис. 8.17. Апериодические расходящиеся процессы (а) и фазовые траектории неустойчивого узла (б)

5. Если корни уравнения (8.56) — вещественные положительные, то переходный процесс будет апериодическим расходящимся (рис. 8.17, а). Этому процессу соответствует фазовая траектория, выходящая из начала координат и удаляющаяся в бесконечность (рис. 8.17, б). Начало координат фазовой плоскости представляет здесь особую точку, называемую неустойчивым узлом.

Рис. 8.18. Фазовые траектории седла

6. Пусть, наконец, уравнение (8.56) имеет вещественные корни разных знаков. В этом случае особая точка называется седлом; в нее входят две и из нее выходят две траектории, остальные траектории с ней не касаются (рис. 8.18).

Пусть теперь исходная система уравнений имеет вид

где — постоянные коэффициенты; — члены, обращающиеся в начале координат в нуль по крайней мере как бесконечно малые второго порядка. Пусть — корни характеристического уравнения линейной системы, получаемой из (8.60) при т. е. корни уравнения

причем будем полагать выполненным неравенство

Французский математик А. Пуанкаре показал, что нелинейная система (8.60) имеет особую точку одного из рассмотренных выше типов: 1) устойчивый фокус (если — комплексные с отрицательными вещественными частями); 2) неустойчивый фокус (если — комплексные с положительными вещественными частями); 3) устойчивый узел (если вещественные отрицательные); 4) неустойчивый узел (если — вещественные положительные); 5) седло (если — вещественные разных знаков); 6) если и — чисто мнимые, то возможен центр или фокус в зависимости от вида функций Р и . В каждом случае фазовые траектории системы (8.60) в малой окрестности особой точки аналогичны соответствующим траекториям линейной системы.

1
Оглавление
email@scask.ru