§ 5.2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА — ГУРВИЦА

Критерий устойчивости Рауса — Гурвица относится к алгебраическим критериям устойчивости, накладывающим ограничения на коэффициенты характеристического уравнения. Профессор математики Кембриджского университета Раус в 1875 г. сформулировал условия устойчивости в виде таблицы. Швейцарский математик Гурвиц опубликовал в 1895 г. критерий устойчивости в виде системы определителей. Оба эти критерия приводят к одним и тем же алгебраическим неравенствам и отличаются только способом их получения. Поэтому часто указанные критерии объединяют, называя критерием Рауса—Гурвица. Рассмотрим этот критерий в форме Гурвица.

Если трактеристическое уравнение системы имеет вид уравнения (5.6), причем то для устойчивости линейной САУ

необходимо и достаточно, чтобы были положительными определителей рурвица Определители Гурвица представляют собой диагональные определители квадратной матрицы порядка:

составленной из коэффициентов уравнения (5.6), так что

Легко убедиться в том, что Поэтому последний определитель Гурвица вычислять не нужно, а условие выполняется при

Условия, при которых система находится на границе устойчивости, можно получить, приравнивая нулю последний определитель Гурвица при положительности всех остальных определителей. При этом » или Условие соответствует апериодической границе устойчивости, а условие — колебательной границе.

Для характеристических уравнений высоких степеней порядок определителей возрастает, и практическое вычисление их становится сложным. Критерий устойчивости Рауса — Гурвица рационально применять для уравнений не выше четвертой - пятой степени. В этих случаях условия устойчивости имеют следующий вид.

Уравнения первой и второй степеней. Для уравнений первой и второй степеней необходимый критерий устойчивости, заключающийся в требовании положительности всех коэффициентов уравнения, является и достаточным критерием. Следовательно, условие устойчивости состоит в следующем:

Уравнение третьей степени. Оно имеет вид

Для этого уравнения имеем

Следовательно, в этом случае требуется не только положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, но и соблюдение условия

Уравнение четвертой степени. Оно имеет вид

Аналогично можно получить условия устойчивости в виде требования положительности всех коэффициентов характеристического уравнения и

При исследованиях более сложных систем можно пользоваться условиями устойчивости Льенара и Шипара, которые в 1914 г. показали, что при положительности коэффициентов характеристического уравнения число условий устойчивости может быть снижено наполовину. При этом для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными все коэффициенты характеристического уравнения и определители Гурвица

Пример 5.1. Исследуем устойчивость простейшей следящей системы, в которую входит инерционный усилитель с постоянной времени и исполнительный двигатель с постоянной времени ; все остальные элементы системы можно считать безынерционными (см. рис. 3.2, б).

В этом случае передаточная функция разомкнутой системы

а передаточная функция замкнутой системы

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

где

Условие устойчивости (5.16) после простых преобразований можно записать следующим образом:

Система будет находиться на колебательной границе устойчивости при критическом значении общего коэффициента усиления

Рис. 5.3. Область устойчивости

Область устойчивости исследуемой системы в плоскости параметров построена на рис. 5.3. Штриховка направлена внутрь области устойчивости. Видно, что увеличение постоянных времени сужает область устойчивости, уменьшая верхнее значение критического коэффициента усиления