§ 2.8. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Частотные методы исследования линейных систем автоматического регулирования существенно упростились после того, как для построения графиков частотных характеристик были введены логарифмические шкалы. Частотные характеристики, построенные в логарифмических шкалах, называются логарифмическими частотными характеристиками. Логарифмические шкалы по одной или обеим осям могут использоваться при построении любых частотных характеристик. Чаще всего строятся характеристики называемые соответственно логарифмической амплитудной характеристикой (л.а.х.) у логарифмической фазовой характеристикой (л.ф.х.) и логарифмической амплитудно-фазовой характеристикой (л.а.ф.х.).

При построении логарифмических характеристик на шкале частот вместо со откладывается Единицами измерения логарифмических координат являются декада и децибел (дб). Декадой называется интервал частот, соответствующий изменению частоты в

10 раз. На логарифмической шкале декада изображается отрезком единичной длины, так как Поэтому относительно величины логарифмическая шкала является равномерной, а относительно частоты — неравномерной (рис. 2.26).

Децибел используется при введении логарифмической шкалы по оси ординат а.ч.х., которая, как известно, показывает, во сколько раз амплитуда выходного сигнала больше или меньше амплитуды

Рис. 2.26. Логарифмическая шкала

входного сигнала. Усилением в децибелах называется величина Усилению соответствуют положительные децибелы, а ослаблению — отрицательные. В натуральном масштабе 1 дб соответствует усилению в 1,12 раза, т. е. Кроме того, Таким образом, получается, что Смысл введения по шкале частот декады, а по оси усиления децибела заключается в том, чтобы при изменении от 0 до усиление (ослабление) по амплитуде изменялось в заметных пределах (усиление в 1 млн. раз соответствует всего лишь Ниже приводится соотношение между величинами А и

Чтобы получить л.а.х., необходимо взять функцию и построить ее график, используя логарифмическую шкалу частот. Аналитическое выражение л.а.х. можно представить в виде

При построении л.ф.х. логарифмическая шкала применяется только по оси частот, а по оси ординат используется натуральный масштаб. Для практических расчетов оказывается удобным при изображении л.а.х. и л.ф.х. использовать одну и ту же ось частот, совместив точку — 180° оси ординат л.ф.х. с точкой 0 дб оси ординат л.а.х. (рис. 2.27).

Рис. 2.27. Оси координат л. а. х. и л. ф. х.

Введение логарифмических частотных характеристик позволяет получить ряд преимуществ. Одно из этих преимуществ заложено в свойстве логарифмов: логарифм произведения нескольких величин равен сумме логарифмов этих величин. Это свойстео в значительной степени упрощает построение результирующих частотных характеристик последовательно соединенных звеньев. В самом деле, прологарифмировав выражение (2.135), получим уравнение

которое в соответствии с упомянутым свойством логарифмов может быть представлено следующим образом:

Следовательно,

Это равенство объясняет смысл введения логарифмической шкалы по оси ординат а.ч.х.

Из выражения (2.136) следует, что введение логарифмической шкалы по оси ординат фазовой характеристики излишне, поскольку фазовая характеристика последовательно соединенных звеньев равна сумме фазовых характеристик отдельных звеньев.

Так как логарифм алгебраической суммы функций не равен сумме логарифмов этих функций, то для параллельно соединенных звеньев и звеньев с обратными связями переход к логарифмическим характеристикам преимуществ не дает.

Рис. 2.28. Амплитудные характеристики для звена с передаточной функцией

Рис. 2.29. Л. а. х. для звена с передаточной функцией

Применение логарифмических шкал существенно уменьшает крутизну амплитудных характеристик звеньев. Поэтому результирующая л.а.х. последовательно соединенных звеньев может быть легко построена как асимптотическая кривая к ломаной линии, состоящей из отрезков прямых, представляющих собой л.а.х. отдельных звеньев.

В большинстве случаев при построении л.а.х. нет необходимости производить какие-либо расчеты. В качестве примера построим л.а.х. для звена с передаточной функцией

А. ч. х. этого звена

На рис. 2.28 приведены зависимости при различных значениях и которые могут быть построены только по точкам.

Л.а.х. может быть представлена следующим образом:

Это уравнение представляет собой уравнение пучка прямых, проходящих через одну точку с координатами с наклоном к оси частот Любая из этих прямых может быть очень легко построена, если определить так называемую частоту среза Частотой среза называется частота, при которой пересекает ось частот. Для рассматриваемого примера

Сравнивая построение а.ч.х. и л.а.х., можно убедиться в преимуществе логарифмических шкал. Действительно, задавая различные значения или легко определить , отложив на шкале частот вычисленное значение провести прямую через две точки:

Кривизна фазовых характеристик при переходе к логарифмическим шкалам увеличивается. Поэтому л.ф.х. приходится строить по точкам. Однако этот недостаток в некоторой степени удается устранить путем использования специальных шаблонов [55].

Одно из, преимуществ логарифмических шкал заключается в том, что по оси частот масштаб автоматически падает с увеличением частоты. Это позволяет на одном графике охватить весь интересующий исследователя диапазон частот с детальной проработкой характера частотных характеристик в области низких частот, так как чаще всего именно эти частоты представляют наибольший интерес.

Рассмотренные преимущества сделали метод логарифмических частотных характеристик одним из основных методов анализа и синтеза линейных систем автоматического управления (см. гл. 5 и 6).