§ 7.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

При расчете ДАС весьма полная аналогия с непрерывными системами возникает в том случае, когда импульсный элемент и экстраполятор могут быть представлены эквивалентными непрерывными звеньями (см. рис. 7.11). Это возможно, если период дискретности мал по сравнению с основными постоянными времени непрерывной части системы или частота квантования по времени (для случая многоконтурных систем, систем с ЦВМ) значительно больше частоты основных сигналов. При этом передаточные функции и частотные характеристики ДАС совпадают с передаточными функциями и частотными характеристиками эквивалентных непрерывных систем, что позволяет рассчитывать и исследовать ДАС с позиций непрерывных систем.

Если же указанные ограничения не выполняются, то при исследовании и расчете ДАС необходимо учитывать эффект квантования по времени сигналов и наличие в них импульсных элементов, дискретных фильтров и экстраполяторов.

В ДАС все величины, характеризующие ее состояние, рассматриваются в дискретные моменты времени т. е. анализируются решетчатые функции времени (см. § 1.12). В некоторых случаях приходится анализировать поведение системы в моменты

Решетчатые функции являются функциями дискретного аргумента и обозначаются , так что

В дальнейшем в основном рассматриваются решетчатые функции вида

Если интервал дискретности задан, то по функции решетчатая функция (7.12) определяется однозначно. Обратное положение несправедливо.

Для изучения поведения решетчатых функций методы дифференциального и интегрального исчисления непригодны. «Дискретными

аналогами» производных и интегралов обычных функций для решетчатых функций являются конечные разности и суммы (табл. 7-2).

Таблица 7.2. Переход к решетчатым функциям

Например, дискретным аналогом первой производной является прямая разность первого порядка

или обратная разность первого порядка

В связи с этим для теоретического исследования дискретных систем используют не дифференциальные, а разностные уравнения, связывающие решетчатую функцию и ее разности различных порядков.

Ограничимся исследованием линейных дискретных систем, поведение которых описывается линейными разностными уравнениями

Учитывая, что

по индукции получаем

где С — число сочетаний из элементов по

Воспользовавшись этим соотношением, разностное уравнение (7.15) можно представить в виде

где

Это уравнение называется разностным уравнением порядка (при ).

В дискретных системах разностные соотношения характеризуют зависимости между входными и выходными переменными ЦУМ или устройств, импульсных элементов и экстраполяторов.

Для теоретического исследования ДАС необходимо составить разностные уравнения звеньев, составляющих систему, в том числе и непрерывной части. Это значит, что, хотя на выходе непрерывной части системы сигнал непрерывен, он будет рассматриваться только в моменты квантования входного сигнала импульсным элементом.

Разностные уравнения звеньев ДАС, рассматриваемые совместно, в совокупности образуют систему разностных уравнений, описывающих работу ДАС.

Чтобы определить процесс регулирования, необходимо решить систему разностных уравнений (или одно разностное уравнение высокого порядка, в которое «свертывается» эта система), описывающих работу ДАС.

Решение разностных уравнений и их систем известными из математики классическими методами сопряжено со значительными вычислительными трудностями. Поэтому для ДАС, как и для непрерывных систем, широкое распространение получили операторные методы. Среди этих методов в ДАС чаще всего используется метод -преобразования, так как получаемые в нем соотношения между изображениями входной и выходной величин по своей структуре аналогичны соотношениям для непрерывных систем при использовании преобразования Лапласа. Это позволяет применять для исследования и расчета ДАС развитые для непрерывных систем эффективные частотные методы.

Функция комплексного переменного называемая -преобра зоеанием решетчатой функции определяется равенством

и обозначается

Так как на входе импульсного элемента сигнал представляет собой функцию непрерывного аргумента то иногда используют запись

где — преобразование Лапласа функции

Если ряд (7.20) сходится, то является изображением оригинала

Изображения некоторых функции времени приведены в табл. 7.3 и 7.4.

Таблица 7.3 (см. скан) -преобразования простых функций

Таблица 7.4 (см. скан) -преобразования сложных функций

Приведем без доказательства некоторые свойства и правила преобразования изображений [15, 56, 58, 60, 65].

1. Изображение суммы решетчатых функций:

2. Изображение свертки двух решетчатых функций

3. Начальное значение оригинала:

4. Конечное значение оригинала:

5. Связь преобразования Лапласа и -преобразования:

Функция комплексного переменного произведение которой на -преобразование входного сигнала звена или системы дает -преобразование выходной величины, называется передаточной функцией звена или системы. Следовательно, передаточная функция представляет собой отношение -преобразований выходной и входной величин при нулевых начальных условиях.

Чтобы найти передаточные функции ДАС, как и в случае непрерывных систем, необходимо первоначально определить передаточную функцию разомкнутой системы.

Структурная схема разомкнутой ДАС показана на рис. 7.12. Передаточная функция

где — изображения функций времени

Рассмотрим первоначально простейший случай, когда . В этом случае последовательно соединены идеальный импульсный элемент, экстраполятор и непрерывная часть системы. Экстраполятор и непрерывная часть в совокупности образуют приведенную непрерывную часть, передаточная функция которой определяется выражением (7.7).

Для экстраполятора нулевого порядка

функцией веса приведенной непрерывной части системы является оригинал изображения (7.28):

С учетом (7.21)

Таким образом, чтобы найти передаточную функцию необходимо определить -преобразование передаточной функции приведенной непрерывной части.

Из формулы (7.28) следует, что

где

Известно [60], что для отыскания -преобразования функции времени, заданной преобразованием Лапласа в такой форме, следует пользоваться выражением

Поэтому

-преобразование находится путем разложения рациональной дроби на простые, с дальнейшим использованием таблиц -преобразований.

В качестве примера определим передаточную функцию разомкнутой импульсной системы регулирования температуры (см. рис. 1.48 и 7.7), для которой

Разложим это выражение на простые дроби:

Тогда из табл. 7.2 и формулы (7.32) имеем:

где

Для цифровых систем управления . В этом случае так как ЦУМ или цифровое устройство, осуществляя модуляцию последовательности входных -функций, не изменяет дискретной природы сигналов.

Рис. 7.12 Структурная схема разомкнутой ДАС

В любой момент времени или цифровое устройство в соответствии с алгоритмом работы определяет и выдает на выход числовую величину, получаемую в общем случае по значениям входного и выходного сигналов в данный и пред. шествующие моменты времени:

где целое положительное число.

В соответствии с табл. 7.4 и правилами преобразования изображений передаточная функция дискретного фильтра

Умножив числитель и знаменатель на получим

В качестве примера рассмотрим случай, когда БЦМ (см. рис. 1.54) реализует функцию корректирующего устройства (см. рис. 7.10, а) с алгоритмом:

где

Для этого случая

Учитывая, что

в соответствии с формулой (7.33) можно определить

Передаточную функцию замкнутой ДАС (главный оператор), как и непрерывной системы, можно определить, если известна

Например, (см. рис. 7.8, б)

Знаменатель передаточной функции замкнутой ДАС называется ее характеристическим полиномом.

Передаточная функция ДКУ по возмущению

где

При одновременном действии задающего и возмущающего воздействий (см. рис. 7.3, а), как и для непрерывных систем, имеем:

Обычно изображения входных сигналов и передаточные функции представляют собой дробно-рациональные функции