§ 8.6. МЕТОД СЕЧЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ

Приближенные методы исследования нелинейных систем нуждаются в обосновании их применимости к конкретным случаям и в оценке погрешностей, для чего в качестве эталонов удобно использовать результаты точных методов. Точные аналитические методы исследования нелинейных систем высокого порядка обычно являются весьма громоздкими. Но в ряде случаев нелинейные системы высокого порядка можно исследовать точными аналитическими методами так же полно и просто, как это делается при исследовании систем второго порядка с помощью фазовой плоскости. Эту возможность предоставляет метод сечений пространства параметров, сущность которого состоит в следующем.

Пусть исходной системой служит некоторая нелинейная система порядка, имеющая линейную часть и ряд нелинейностей. Часть коэффициентов уравнений этой системы, заданных буквенно, будем считать параметрами, которые могут принимать множество значений и образуют многомерное пространство параметров. Конечная цель исследования нелинейной системы состоит в том, чтобы в пространстве параметров определить границы между областями определенного динамического поведения системы (областями устойчивости, автоколебаний и т. п.), называемые бифуркационными поверхностями.

Поскольку определить точно бифуркационные поверхности в целом невозможно, проведем в пространстве параметров ряд сечений (например, плоскостей) и будем искать часть бифуркационных поверхностей, принадлежащую сечениям. Оказывается, данные сечения можно выбрать так, чтобы для принадлежащих им значений параметров исходная система линейной заменой переменных приводилась к совокупности подсистем низкого порядка. Тем самым сложная проблема исследования исходной нелинейной системы порядка в условиях сечений сводится к легко выполнимой задаче исследования названных подсистем низких порядков (это будет показано ниже). Благодаря этому в плоскостях сечений можно построить все бифуркационные кривые, которые будут представлять собой пересечения бифуркационных поверхностей с проведенными сечениями. Если сечений построено много, то полученные бифуркационные кривые будут достаточно хорошо характеризовать искомые бифуркационные поверхности в целом. Кроме того, для принадлежащих сечениям значений параметров можно получить полное представление о картине движения в -мерном фазовом пространстве. Результаты, получаемые по сечениям, могут быть распространены на их окрестности [37].

Данный метод применим к конкретной системе, если в пространстве ее параметров существуют сечения, обладающие требуемыми свойствами. Установлено, что такие сечения существуют в пространствах параметров ряда типовых классов автоматических систем, но, конечно, их можно построить не для всякой системы.

В областях между сечениями система должна исследоваться другими методами.

Применение метода для исследования одного класса систем управления.

Пусть исходные уравнения имеют вид

где — координаты регулируемой системы; — управляющий сигнал; — постоянные коэффициенты; — некоторая нелинейная функция. К уравнениям такого вида приводятся многие конкретные системы. Решая систему (8.107) относительно любой из переменных получаем

где

а определитель получается из определителя при замене -го столбца столбцом, составленным из коэффициентов Пусть — простые корни характеристического уравнения Разложим на простейшие дроби правильную дробь:

где — постоянные коэффициенты. Для определения умножим обе части равенства (8.110) на

Полагая в правой части равенства (8.111) получаем А, в левой — неопределенность так как Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, находим

Согласно выражениям (8.108), (8.110), (8.112), имеем

Обозначим

По формулам (8.113), (8.114) определяются уравнения линейного преобразования

приводящего систему (8.107) к виду

где

Выражение для а в системе (8.116) и выражения (8.117) для коэффициентов получаются подстановкой значений из (8.115) в уравнение для исходной системы (8.107).

Преобразование (8.115) обратимо, если по заданным из него можно определить Для этого должен быть отличен от нуля определитель

Если , преобразование (8.115) называется обратимым, или неособым. При этом каждой точке фазового пространства системы (8.107) соответствует определенная точка фазового пространства системы (8.116), и наоборот, каждой точке фазового пространства системы (8.116) — определенная точка фазового пространства системы (8.107). В таком случае системы (8.107), (8.116) взаимозаменяемы при исследовании, выводы о динамическом поведении одной из них справедливы для другой. Будем полагать числа такими, что преобразование (8.115) — неособое, и называть систему (8.116) эквивалентной системой.

Пусть в уравнениях (8.107) коэффициенты являются параметрами и образуют -мерное пространство а коэффициенты заданные числа. Составим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными

левые части которых представляют собой числители выражений (8.117). Чтобы система (8.119) имела только вещественные решения, постоянные будем считать вещественными при вещественных и комплексными сопряженными при комплексных сопряженных; в остальном эти постоянные будем считать произвольными. Система (8.119) при любых имеет определенное решение относительно если отличен от нуля ее определитель:

Возвращаясь к определителю (8.118), вынесем из его столбцов множители тогда

В последнем определителе заменим строки столбцами, от чего его величина не изменится, тогда получим

Так как из выражения (8.121) следует, что определитель отличен от нуля, если отличен от нуля определитель и наоборот. Следовательно, система (8.119) имеет решение, если преобразование (8.115) — неособое, каковы бы ни были числа

Выберем постоянные следующим образом:

оставляя произвольными. Тогда система (8.119) запишется так:

и будет определять значения величин как линейные функции двух произвольных постоянных — Если решения системы (8.119) при произвольных заполняют все точки -мерного пространства то решения системы (8.123) вырезают в этом пространстве двумерную плоскость — сечение пространства

Для значений являющихся решениями системы (8.123), уравнения (8.116), согласно выражениям (8.122), (8.123), (8.117), принимают вид

Система (8.124) содержит независимую подсистему второго порядка с переменными которая может быть исследована методом фазовой плоскости. После определения из названной подсистемы характера зависимости а остальные уравнения (8.124) для при решим как линейные неоднородные первого порядка с заданным воздействием получим

Исследовав систему (8.124), с помощью преобразования (8.115) перенесем результат на систему (8.107), рассматриваемую в условиях сечения (8.123).

Сечение, в условиях которого исследование исходной системы порядка сводится изложенным способом к рассмотрению ряда уравнений не выше второго порядка, назовем вскрывающим сечением второго рода. Сечение, для которого , остальные обозначим

Пусть уравнение имеет I вещественных и комплексных корней. Выбирая в качестве корней для которых , любые два из I вещественных, получим число различных сечений, равное числу сочетаний из элементов по два, т. е. . Выбирая в качестве названных корней любую пару

комплексных сопряженных, получим еще различных сечений. В итоге в пространстве построим различных сечений каждое из которых будет плоскостью. Если то в пространстве си получим три сечения в виде трех плоскостей, проходящих через начало координат.

Полагая в уравнениях (8.119) одну или три из величин отличными от нуля, остальные равными нулю, определим сечения первого и третьего рода.

Подчеркнем, что в условиях рассматриваемых сечений исходная система сохраняет свой порядок и размерность фазового пространства равными

Значения параметров принадлежащие сечению определяются решением системы (8.123)

где определитель представлен формулой (8.120), а определитель получается из заменой столбца столбцом свободных членов

Бифуркационные значения параметров в плоскостях сечений определяются следующим образом. Так как заданы, то и в уравнениях (8.124) заданы. Параметрами в них служат определяемые через параметры формулами (8.117). В результате исследования системы (8.124) в плоскости будут построены соответствующие бифуркационные кривые (у и могут быть комплексными сопряженными, тогда выделим из них вещественную и мнимую части и примем их за параметры). Обозначим значения на бифуркационной кривой через

Если вещественные части корней отрицательны, т. е.

то, согласно формуле (8.125), переменные ведут себя подобно переменной — они стремятся к нулю, если а стремится к нулю, или стремятся к периодическим функциям, если а — функция периодическая. Поэтому динамическое поведение системы (8.107) в сечении подобно динамическому поведению названной выше подсистемы второго порядка. В связи с этим, полагая согласно выражениям (8.123), и подставляя значения в формулу (8.126), получаем бифуркационные значения параметров для системы (8.107).

Заметим, что в условиях сечения система (8.107) зависит не от а только от двух произвольных параметров (остальные определяются через эти два). Поэтому полученные бифуркационные кривые для каждого сечения могут быть построены в виде наглядных графиков на плоскости чертежа; при этом координатами могут служить любые два параметра из

Для типовых нелинейностей система (8.124) уже исследована [37]. В этих случаях применение метода сводится к пересчету результатов исследования системы (8.124) на вскрывающие сечения системы (8.107).

Аналогично метод применяется в других случаях, когда параметрами служат не коэффициенты а другие коэффициенты уравнений (8.107), или когда исходные уравнения отличаются от уравнений (8.107).

В конкретной задаче может оказаться, что на ряд параметров системы уже наложены ограничения, так что мы заведомо находимся в пространстве параметров в некоторой области, через которую проходит недостаточное число вскрывающих сечений. Поэтому к задачам анализа систем частного вида метод не всегда применим. Но в задачах синтеза заведомо имеется возможность выбрать коэффициенты так, чтобы попасть на эти сечения.