Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 8.6. МЕТОД СЕЧЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВПриближенные методы исследования нелинейных систем нуждаются в обосновании их применимости к конкретным случаям и в оценке погрешностей, для чего в качестве эталонов удобно использовать результаты точных методов. Точные аналитические методы исследования нелинейных систем высокого порядка обычно являются весьма громоздкими. Но в ряде случаев нелинейные системы высокого порядка можно исследовать точными аналитическими методами так же полно и просто, как это делается при исследовании систем второго порядка с помощью фазовой плоскости. Эту возможность предоставляет метод сечений пространства параметров, сущность которого состоит в следующем. Пусть исходной системой служит некоторая нелинейная система Поскольку определить точно бифуркационные поверхности в целом невозможно, проведем в пространстве параметров ряд сечений (например, плоскостей) и будем искать часть бифуркационных поверхностей, принадлежащую сечениям. Оказывается, данные сечения можно выбрать так, чтобы для принадлежащих им значений параметров исходная система линейной заменой переменных приводилась к совокупности подсистем низкого порядка. Тем самым сложная проблема исследования исходной нелинейной системы Данный метод применим к конкретной системе, если в пространстве ее параметров существуют сечения, обладающие требуемыми свойствами. Установлено, что такие сечения существуют в пространствах параметров ряда типовых классов автоматических систем, но, конечно, их можно построить не для всякой системы. В областях между сечениями система должна исследоваться другими методами. Применение метода для исследования одного класса систем управления.Пусть исходные уравнения имеют вид
где
где
а определитель
где
Полагая
Согласно выражениям (8.108), (8.110), (8.112), имеем
Обозначим
По формулам (8.113), (8.114) определяются уравнения линейного преобразования
приводящего систему (8.107) к виду
где
Выражение для а в системе (8.116) и выражения (8.117) для коэффициентов Преобразование (8.115) обратимо, если по заданным
Если Пусть в уравнениях (8.107) коэффициенты
левые части которых представляют собой числители выражений (8.117). Чтобы система (8.119) имела только вещественные решения, постоянные
Возвращаясь к определителю (8.118), вынесем из его столбцов множители
В последнем определителе заменим строки столбцами, от чего его величина не изменится, тогда получим
Так как Выберем постоянные
оставляя
и будет определять значения Для значений
Система (8.124) содержит независимую подсистему второго порядка с переменными
Исследовав систему (8.124), с помощью преобразования (8.115) перенесем результат на систему (8.107), рассматриваемую в условиях сечения (8.123). Сечение, в условиях которого исследование исходной системы Пусть уравнение комплексных сопряженных, получим еще Полагая в уравнениях (8.119) одну или три из величин Подчеркнем, что в условиях рассматриваемых сечений исходная система сохраняет свой порядок и размерность фазового пространства равными Значения параметров
где определитель Бифуркационные значения параметров Если вещественные части корней
то, согласно формуле (8.125), переменные Заметим, что в условиях сечения Для типовых нелинейностей система (8.124) уже исследована [37]. В этих случаях применение метода сводится к пересчету результатов исследования системы (8.124) на вскрывающие сечения системы (8.107). Аналогично метод применяется в других случаях, когда параметрами служат не коэффициенты В конкретной задаче может оказаться, что на ряд параметров системы уже наложены ограничения, так что мы заведомо находимся в пространстве параметров в некоторой области, через которую проходит недостаточное число вскрывающих сечений. Поэтому к задачам анализа систем частного вида метод не всегда применим. Но в задачах синтеза заведомо имеется возможность выбрать коэффициенты так, чтобы попасть на эти сечения.
|
1 |
Оглавление
|