§ 8.3. РЕЛЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Элемент, имеющий релейную характеристику, называется релейным элементом. Система, имеющая один или несколько релейных элементов, характеристики всех остальных звеньев которой линейны, называется релейной системой.

Примерами реальных систем, для которых хорошими математическими моделями служат релейные системы, являются следящая система (см. рис. 1.44) и система управления газовыми реактивными соплами космического аппарата (см. рис. 1.47).

На рис. 8.8 изображена схема системы стабилизации давления, в которой исполнительным элементом служит реверсивный электродвигатель постоянного тока, а усилительным элементом — так называемый электрозолотник. При равенстве регулируемого давления заданному значению, устанавливаемому посредством изменения натяжения установочной пружины, контакты электрозолотника разомкнуты и система находится в равновесии. При отклонении регулируемого давления от установленного

Рис. 8.8. Принципиальная схема системы непрямого регулирования давления с электрическим сервомотором и жесткой обратной связью: 1 — емкость с газом под давлением; 2 — мембрана; 3 — установочная пружина; 4 — неподвижные контакты электрозолотника; 5 — исполнительный двигатель; 6 — регулирующий клапан; 7 — пружина обратной связи

значения электрозолотник включает питание одной из обмоток электродвигателя, и последний, вращаясь, перемещает регулирующий клапан, одновременно выключая электрозолотник через пружину обратной связи.

Уравнение объекта этой системы — емкости с газом под давлением может быть записано в виде

где Т — постоянная бремени емкости — регулируемая величина; — регулирующее воздействие; — возмущающее воздействие (нагрузка на объект, определяемая расходом газа из емкости).

Координата электрозолотника а является функцией регулируемой величины у, измеряемой чувствительным элементом, и регулирующего воздействия подаваемого через обратную связь регулятора; поэтому, пренебрегая силами инерции и трения, можно написать

где — некоторые коэффициенты усиления.

Исполнительный двигатель вращается с постоянной по величине скоростью, поэтому его уравнение можно записать в виде

где — постоянная времени двигателя — половина ширины его мертвой зоны.

Рассмотренная система с уравнениями (8.30)-(8.32) является релейной системой.

Типичными примерами релейных систем являются системы с двухпозиционными регуляторами, имеющие релейный элемент с характеристикой, показанной на рис. 8.1, з (например, регуляторы температуры с биметаллической пластинкой), и системы с вибрационными регуляторами напряжения судовых и самолетных электрогенераторов.

Построение переходного процесса в релейной системе методом припасовывания.

Рассмотрим способ построения переходных процессов в релейных системах. В качестве примера воспользуемся системой с уравнениями (8.30)-(8.32).

Изучая свободные колебания системы, положим считая отличными от нуля начальные условия. Пренебрежем мертвой зоной исполнительного двигателя ввиду ее малости, положив Заметим также, что при условие равносильно условию а условие — условию . С учетом сделанных замечаний система уравнений запишется в виде

где введено обозначение

При будет справедливо одно уравнение двигателя, при — другое, что следует учесть при построении кривой переходного процесса.

Интегрируя уравнение двигателя, имеем

где — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями. Подставляя значения из (8.34а), (8.346) в уравнение объекта и интегрируя последнее, получаем

где — новые произвольные постоянные.

Уравнения (8.34 а)-(8.35 б) и есть уравнения переходного процесса. При изменении знака суммы происходит переключение золотника, скорость двигателя меняет знак. Этому соответствует переход от уравнений (8.34а), (8.35а) к уравнениям (8.346), (8.356) или обратно.

Начальное движение системы определяется знаком суммы заданным начальными условиями. Пусть, например, при имеем Тогда движение описывается уравнениями (8.34а), (8.35а) или, если определить из этих уравнений произвольные постоянные по заданным начальным условиям, уравнениями

Это движение продолжается до тех пор, пока не изменится знак суммы Из уравнений (8.36) имеем

В некоторый момент времени получим тогда произойдет смена уравнений движения. Значение найдем согласно выражению (8.37) из алгебраического уравнения

Из двух значений являющихся решениями уравнения (8.38), выберем то, которое подходит по физическому смыслу (оно должно быть положительным). После этого по формулам (8.36) определяем величины в конце первого этапа переходного процесса, соответствующего неравенству

Теперь переходный процесс будет описываться уравнениями (8.346), (8.356), соответствующими значению в которых следует определить произвольные постоянные. На этом втором этапе переходного процесса удобно снова вести отсчет времени от нуля. Начальные значения функции для второго этапа переходного процесса будут равны, ввиду непрерывности этих функций, их конечным значениям на первом этапе переходного процесса. Поэтому для второго этапа процесса начальными условиями будут: Подставляя их в уравнения (8.346), (8.356) и полагая находим значения произвольных постоянных: Следовательно, для второго этапа переходного процесса уравнения (8.346), (8.356) запишутся так:

Из выражений (8.39) находим

Приравнивая последнее выражение нулю, можно найти значение при котором вновь произойдет переключение золотника. Тогда по формулам (8.39) получим значения и у в конце второго этапа переходного процесса:

Эти значения будут начальными условиями для третьего этапа переходного процесса, на котором движение снова будет описываться теми же уравнениями, что и на первом этапе, но с другими значениями произвольных постоянных

Построим график переходного процесса (рис. 8.9). На этом графике Удобно откладывать значения функций так как при условии когда пересекаются две кривые, происходит переключение золотника и смена уравнений. На участке координата У согласно формуле (8.36), изменяется по параболе, осью симметрии которой служит ось ординат, причем вершина параболы обращена вниз, так как Координата на этом участке возрастает прямой линии, следовательно убывает также по прямой. 8 момент имеем далее у меняется по параболе (8.39), ось симметрии которой параллельна оси ординат, а вершина

обращена вверх, так как Координата согласно выражению (8.39), на участке 1—2 убывает, значит, переменная возрастает. Проделанное построение показывает, что отклонения у и постепенно уменьшаются; следовательно, система устойчива.

Аналогично может быть построен переходный процесс и в других релейных системах.

В рассмотренном примере нелинейная характеристика (релейная характеристика двигателя) состоит из двух отрезков прямых. Поэтому система нелинейных уравнений распадается на две линейные системы, каждая из которых справедлива в определенной области значений переменных.

Рис. 8.9. Переходный процесс в простейшей релейной системе

Если нелинейная характеристика системы составлена из отрезков прямых, то система называется кусочно-линейной. Движение кусочно-линейной системы может быть описано решениями ряда последовательно сменяющих друг друга систем линейных дифференциальных уравнений. При этом конечные значения переменных предыдущего участка принимаются за начальные значения переменных последующего участка. Такой метод построения переходных процессов в нелинейных системах называют методом припасовывания, так как он предполагает определение постоянных интегрирования исходя из согласования (припасовывания) значений переменных на границе соседних участков. Построив методом припасовывания кривую переходного процесса и проанализировав ее, можно определить условия устойчивости системы, а также оценить качество переходного процесса.

Метод припасовывания применяется для построения переходных процессов как в релейных, так и в других, более сложных, кусочнолинейных системах. Недостатком метода является его громоздкость.