§ 8.7. СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

САУ, в которой путем переключений изменяются связи между элементами в зависимости от ее состояния, называется системой с переменной структурой. Структурная схема такой системы меняется в течение переходного процесса таким образом, чтобы обеспечить качественное выполнение задач управления.

Рис. 8.35. Структурные схемы: а — системы (8.157), (8.158) с постоянной структурой; б — системы (8.157), (8.161) с переменной структурой

Изменение структурной схемы приводит к изменению вида уравнений движения, описывающих переходный процесс. В связи с этим даже если на отдельных участках переходный процесс описывается решениями линейных дифференциальных уравнений, в целом уравнения движения системы будут нелинейными.

Рассмотрим линейную модель системы с нейтральным объектом и регулятором непрямого действия без обратной связи (рис. 8.35, а). Уравнения движения системы имеют

где у — регулируемая величина; — регулирующее воздействие; х — сигнал ошибки; — постоянные коэффициенты.

Из системы (8.157), (8.158) имеем уравнение относительно у:

Характеристическое уравнение Та имеет чисто мнимые корни:

Полагая получаем фазовые траектории в виде эллипсов (см. § 8.4), описываемых уравнением

где произвольная постоянная. При на оси фазовой плоскости траектории согласно уравнению (8.59) отсекают отрезки при — отрезки Поэтому при фазовый портрет имеет вид, показанный на рис. 8.36, а, приш — изображенный на рис. 8.36, б. В любом случае в системе имеются незатухающие колебания.

Заметим, что в квадрантах I и III фазовой плоскости, представленной на рис. 8.36, а, в квадрантах II и IV плоскости, представленной на рис. 8.36, б, изображающая точка, двигаясь по фазовым траекториям, несколько приближается к точке покоя. Используем это свойство для синтеза устойчивой системы с переменной структурой, в которой может быть как

Рис. 8.36. Фазовые траектории: а — особой точки типа центра при ; б — при ; в — при на части фазовой плоскости; г — при на части фазовой плоскости; д — системы с переменной структурой

так и в зависимости от ее состояния. Взяв от каждого фазового портрета нужную часть (рис. 8.36, в, г) и составляя эти части вместе, получим фазовый портрет с устойчивым состоянием равновесия (рис. 8.36, д). Смена траекторий с траекториями с осуществляется при переходе через координатные оси, причем в точках перехода все координаты системы изменяются непрерывно.

В квадрантах I и III, очевидно, всегда в квадрантах II и IV, наоборот, т. е. знак произведения совпадает со знаком произведения . В связи с этим фазовый портрет, приведенный на рис. 8.36, д, будсг иметь место в системе, в которой сигнал ошибки вместо уравнения (8.158) описывается уравнением

Структурная схема системы может быть представлена в виде, показанном на рис. 8.35, б. Блок изменения структуры получает сигналы и вырабатывает сигнал в зависимости от которого осуществляются переключения в соответствии с соотношениями (8.161). При этом величины согласно формуле (8.160) определяются соотношениями

Эти соотношения эквивалентны условиям

Таким образом, если выполняются условия (8.162), то система (8.157), (8.161) имеет устойчивое состояние равновесия.

Рассмотренный пример показывает, что система с переменной структурой может обладать новыми свойствами, которых не имеет ни одна из составляющих ее структур. Из двух неустойчивых структур получена структура, устойчивая в целом. Это достигнуто тем, что каждая из составляющих структур использована не полностью, использована лишь часть ее, обладающая положительными свойствами. На использовании положительных свойств составляющих структур, проявляющихся при определенном динамическом состоянии системы, и основано построение автоматических систем с переменной структурой.

Чтобы рассмотреть характерные особенности процессов в системах с переменной структурой, заменим в системе (8.157),(8.158)

нейтральный объект неустойчивым; тогда уравнения движения запишутся в виде

Из системы (8.163) имеем следующее уравнение для регулируемой величины

Характеристическое уравнение

имеет корни

.Согласно выражению (8.166) при условии

корни будут комплексными с положительными вещественными частями; в таком случае (см. § 8.4) система имеет на фазовой плоскости особую точку типа неустойчивого фокуса (рис. 8.37, а).

При условии

корни будут вещественными разных знаков, на фазовой плоскости будут траектории типа седла (рис. 8.37, б).

Во втором случае среди траекторий будет одна, по которой изображающая точка попадает в начало координат. Найдем ее уравнение. Решение уравнения (8.164) с учетом запишется так:

где — произвольные постоянные, причем в данном случае Дифференцируя выражение (8.169), имеем

Если

Рис. 8.37. Фазовые траектории: а — неустойчивого фокуса; — седла; в — неустойчивого фокуса на части фазовой плоскости; г — седла на части фазовой плоскости; д — системы с переменной структурой

из выражений (8.169), (8.170) имеем

Это и будет уравнение траектории, вливающейся в начало координат.

Используя только часть от каждого из двух рассмотренных фазовых портретов, разрежем каждый из них вдоль оси и вдоль прямой с уравнением

Из двух полученных таким образом листов фазовой плоскости (рис. 8.37, в, г) составим полный фазовый портрет системы с переменной структурой (рис. 8.37, д). Прямая должна быть проведена так, чтобы фазовая траектория седла, вливающаяся в начало координат, сохранилась на окончательном фазовом портрете; для этого должно быть

При переходе изображающей точки через ось на фазовом портрете (см. рис. 8.37, д) координаты системы изменяются непрерывно. Через прямую изображающая точка вообще не может перейти, так как фазовые траектории в окрестности этой прямой направлены навстречу друг другу. Следовательно, попав на прямую изображающая точка уже не может ее покинуть — она остается на этой прямой. При этом в системе возникает скользящий режим (см. § 8.2), когда в ней происходят с бесконечно большой частотой переключения с одной структуры на другую, а изображающая точка движется по прямой Подставив в уравнение (8.172) этой прямой значения получим дифференциальное уравнение движения системы в скользящем режиме

решение которого

Найдем закон управления, обеспечивающий переключения вдоль прямой и оси Согласно уравнению (8.172) в области (см. рис. 8.37, в), выше прямой имеем в этой области также следовательно, здесь

В области III (см. рис. 8.37, в), ниже прямой т. е. здесь также поэтому вновь выполняется неравенство (8.175). Далее, в области II (см. рис. 8.37, г), выше прямой имеем при этом т. е.

Наконец, в области IV (см. рис. 8.37, г) и вновь выполнено неравенство (8.176). Подставив в выражения (8.175),

(8.176) значение из первого уравнения (8.163) и значение , получим

С учетом выражений (8.175)-(8.177) получаем закон управления для устойчивой системы переменной структуры, уравнения которой вместо (8.163) запишутся в виде

Здесь при должны иметь место фазовые траектории фокуса, для чего должно выполняться неравенство (8.167); следовательно, значение определяется неравенством

При должны существовать траектории седла, поэтому из выражения (8.168) находим

Рис. 8.38. Структурная схема системы (8.178)

При выполнении условий (8.179), (8.180) система с переменной структурой (8.178) будет иметь устойчивое в целом состояние равновесия Структурная схема системы показана на рис. 8.38.

Таким образом, из двух неустойчивых структур вновь синтезирована структура, устойчивая в целом. Особенность этой структуры состоит в том, что в ней используется некоторая прямая на фазовой плоскости, на которую попадает изображающая точка с окрестных траекторий, затем изображающая точка движется по этой прямой к началу координат в скользящем режиме. Такое построение фазового пространства характерно и для систем с переменной структурой, описываемых дифференциальными уравнениями порядка. В -мерном фазовом пространстве таких систем вместо прямой будет гиперплоскость размерности все фазовые траектории попадают на эту гиперплоскость, затем изображающая точка в скользящем режиме движется по гиперплоскости к началу координат.

Применение переменной структуры позволяет использовать сравнительно простые технические средства для построения устойчивой системы с неплохим качеством процессов [19].