Фазовые траектории нелинейных систем. Предельные циклы.

Фазовые траектории нелинейных систем могут быть получены путем приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, с помощью электронной моделирующей установки и т. п. Если Р и — кусочно-линейные функции, то система (8.60) представляет собой ряд подсистем линейных дифференциальных уравнений, каждая из которых справедлива в определенной области плоскости . В каждой области фазовые траектории могут быть определены как часть траекторий соответствующей линейной системы; сшиванием траекторий, принадлежащих отдельным областям находятся траектории на всей плоскости

Для линейных систем факт сходимости процессов к состоянию равновесия не зависит от начальных условий. В нелинейных системах возможны более сложные случаи, когда переходные процессы сходятся к состоянию равновесия при одних и расходятся при других начальных отклонениях.

Пример 8.3. Рассмотрим релейную систему, изученную в предыдущем параграфе, но предположим теперь, что объект регулирования неустойчив. Тогда уравнения движения вместо (8.33) запишутся в виде

где . В данном случае удобно ввести новую переменную

и строить фазовый портрет в координатах Подставляя значения и найденные из выражения (8.63), в первое уравнение (8.62) и дифференцируя результат, получим

Подставляя в последнее уравнение значения из второго уравнения системы (8.62), имеем

Учитывая, что из уравнений (8.64) получаем

Уравнения (8.65) представляют собой дифференциальные уравнения фазовых траекторий. Первое из них после разделения переменных запишется в виде

где

Уравнение (8.66) можно записать так:

Последнее уравнение может быть сразу проинтегрировано:

Аналогично для второго уравнения (8.65) найдем

Произвольные постоянные в уравнениях фазовых траекторий (8.68) и (8.69) можно выразить обычным способом через начальные условия Тогда эти уравнения запишутся так:

Сравним уравнения (8.70) и (8.71). Если в первом из них поменять знаки у переменных то получим точно такое же уравнение, как и (8.71). Это свидетельствует о том, что фазовые траектории на плоскости симметричны относительно начала координат.

Рассмотрим, например, характер фазовых траекторий при Согласно выражениям (8.65), (8.67) для имеем

Выше сделано предположение, что Будем полагать также, Тогда то.

В другой полуплоскости эти траектории располагаются симметрично (рис. 8.19, а).

Рассмотрим условия перехода изображающей точки из полуплоскости в полуплоскость или обратно. Подставляя в продифференцированное равенство (8.63) значения из уравнений (8.62), получаем

Рис. 8.19. Фазовые траектории (а) и изображение на фазовой плоскости переходного процесса (б) для релейной системы с неустойчивым объектом

Следовательно, при изображающая точка совершает скачок по направлению к началу координат величиной

Один из возможных переходных процессов показан на рис.

Рассмотрим, будет ли состояние равновесия системы устойчивым, и если да, то при какой величине начальных отклонений.

Пусть изображающая точка в начальный момент времени имеет координаты

Если, обойдя по фазовым траекториям вокруг начала координат, изображающая точка опять приобретет координаты фазовая траектория, составленная из кусков кривых разных семейств, будет замкнутой, то в системе будет иметь место периодическое движение. Но для этого достаточно, чтобы (см. рис. 8.19, б), так как фазовые траектории симметричны относительно начала координат. Условием сходимости фазовых траекторий к точке покоя будет служить неравенство условием расходимости — неравенство

Чтобы изучить зависимость от рассмотрим зависимость от Зависимость от найдем, подставив в уравнение (8.71) значения учете получим

Из выражения (8.74) следует, что монотонно возрастает ростом причем График зависимости от согласно уравнению (8.74), изображен на рис. 8.20, а. Зависимость от согласно выражению (8.73) будет

Это — прямая линия, изображенная на рис. 8.20, б. Уравнения (8.74) и (8.75) совместно позволяют определить зависимость от Имея графики, изображенные на рис. 8.20, а, б, удобно определить эту зависимость графически. Для этого достаточно из ординат кривой, представленной на рис. 8.20, а, вычесть отрезок Тогда получим кривую, показанную на рис. 8.20, в и представляющую собой график функции Эта последняя кривая обязательно будет пересекать биссектрису координатного угла. Так как уравнение биссектрисы имеет вид

то в точке пересечения , следовательно, на фазовой плоскости имеется замкнутая траектория. Значение соответствующее точке пересечения, обозначим через Если то тогда, как это следует из расположения кривых на рис. т. е. фазовые траектории сходятся к точке покоя. Если то, согласно рис. 8.20, в, имеем т. е. фазовые траектории расходятся в бесконечность. Следовательно, в рассматриваемой системе состояние равновесия устойчиво лишь для отклонений Установленный таким образом окончательный вид фазового портрета изображен на рис. 8.21. Конкретное значение координаты можно найти, решив численно уравнения (8.74) и (8.75).

Рис. 8.20. Графики зависимостей: а) от от

Заметим, что построив график, представленный на рис. 8.20, в, мы нашли преобразование согласно фазовым траекториям точек полупрямой расположенной на фазовой плоскости, в соответствующие им точки полупрямой или, как говорят, выполнили точечное преобразование полупрямой в полупрямую . Поэтому метод, примененный в рассмотренной задаче для определения возможных движений систем, носит название метода точечных преобразований (точечных отображений.)

Если переходный процесс сходится к состоянию равновесия при малых отклонениях от этого состояния и расходится в бесконечность при больших отклонениях, то границей между областями сходимости и расходимости процесса на фазовой плоскости обычно служит замкнутая траектория, соответствующая периодическому процессу (рис. 8.22, а). Такую изолированную замкнутую траекторию А. Пуанкаре назвал предельным циклом. При сколь угодно малом начальном отклонении от этой траектории изображающая точка уходит либо к началу координат, либо в бесконечность. Поэтому периодическое движение в данном случае неустойчиво, а соответствующий ему на

фазовой плоскости предельный цикл носит название неустойчивого предельного цикла.

Рассмотренная выше система (8.62) представляет собой конкретный пример системы с неустойчивым предельным циклом (см. рис. 8.21). В нелинейных системах возможны и устойчивые предельные циклы, на которые фазовые траектории асимптотически «наматываются изнутри и снаружи (рис. 8.22, б). В этом случае сколь угодно малому отклонению от периодического движения соответствует движение, сколь угодно близко к нему приближающееся, т. е. периодическое движение является устойчивым движением.

Рис. 8.21. Фазовый портрет релейной системы, устойчивой для малых и неустойчивой для больших отклонений

Рис. 8.22. Колебательные процессы и фазовые портреты в случае неустойчивого (а) и устойчивого (б) предельных циклов

На фазовом портрете, изображенном на рис. 8.22, б, состояние равновесия системы неустойчиво. Все движения системы, независимо от величины начальных отклонений, заканчиваются стационарными колебаниями вполне определенного характера (конкретный пример системы с устойчивыми стационарными колебаниями рассмотрен в следующем параграфе).

В нелинейных системах возможны случаи, когда одновременно имеется несколько предельных циклов, устойчивых и неустойчивых.

Предельные циклы, так же как и отрезки покоя, являются примерами особых линий на фазовой плоскости.