§ 5.6. ТОЧНОСТЬ ПРИ ТИПОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Точность работы САУ в установившихся режимах оценивается по величине установившейся ошибки

при типовых входных и возмущающих воздействиях. Чем меньше эта ошибка, тем выше качество САУ.

Величина ошибки может быть определена из дифференциального уравнения САУ, составленного относительно ошибки, которое в символической форме записи имеет вид

Для установившегося режима члены с производными в дифференциальном уравнении обращаются в нуль. Следовательно, если в уравнении (5.37) оператор принять равным нулю, то будет получено уравнение установившегося режима.

Установившаяся ошибка может быть определена по известным передаточным функциям системы. Преобразуя выражение (5.37) по Лапласу при нулевых начальных условиях, запишем изображение ошибки

где — передаточная функция замкнутой системы по ошибке; — передаточная функция замкнутой системы по возмущению.

Установившаяся ошибка находится при помощи теоремы о конечном значении (см. § 4.2)

Подставляя в формулу (5.39) выражение (5.38), получим

где составляющая установившейся ошибки воспроизведения входного воздействия — составляющая установившейся ошибки САУ от действия возмущений.

Рассмотрим определение ошибок при типовых воздействиях.

Постоянное ступенчатое воздействие где Примем для простоты, что на систему, кроме того, действует одно возмущающее воздействие где Установившаяся ошибка, возникающая при этих воздействиях, называется статической

На основании (5.39) и (5.40) имеем

Первое слагаемое отлично от нуля только в статических системах, где представляет собой общий коэффициент усиления разомкнутой системы. В этом случае первое слагаемое (5.41) можно представить в виде

При настройках статических систем первую составляющую ошибки всегда можно устранить путем использования неединичной обратной связи или масштабирования входного сигнала. Эта составляющая равна нулю также в системах автоматической стабилизации, для которых и в системах, астатических по отношению к входному воздействию, так как при этом

Для системы, статической по отношению к возмущению второе слагаемое (5.41)

Здесь представляет собой отношение установившейся ошибки к постоянному возмущению (коэффициент статизма) в системе с разомкнутой цепью управления. Эта же величина, деленная на соответствует коэффициенту статизма в замкнутой системе управления. Таким образом, величина показывает эффективность управления с точки зрения уменьшения установившейся ошибки.

Если система оказывается астатической по отношению к входному сигналу то это еще не означает, что астатизм системы сохраняется и по отношению к возмущению.

Рассмотренные составляющие ошибок могут быть отнесены к методическим ошибкам, в отличие от ошибок инструментальных, присущих, например, чувствительным элементам САУ.

Воздействие в виде линейной функции Этот режим применяется главным образом в следящих системах. Он соответствует движению командной оси следящей системы с постоянной скоростью Используя преобразование Лапласа, в этом случае получим Из общего выражения для установившейся ошибки (5.39) запишем

Второе слагаемое (5.44) по-прежнему представляет собой статическую ошибку при условии, что действует постоянное возмущающее воздействие.

Первое слагаемое (5.44) имеет смысл только для систем с астатизмом первого порядка по отношению к входному воздействию, т. е.

1 в том случае, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть записана в виде

Эта составляющая установившейся ошибки называется скоростной. Она равна отношению скорости входного воздействия к добротности системы по скорости

Качество системы считается тем выше, чем выше добротность системы. В статических системах при астатизме выше первого порядка

Воздействие в виде квадратичной функции где Возмущение как и в предыдущих типовых режимах. Этот режим имеет смысл только для следящих систем и систем программного управления, обладающих астатизмом выше первого порядка. Он соответствует движению командной оси следящей системы с постоянным ускорением

Аналогично изложенному выше установившаяся ошибка в этом режиме

Второе слагаемое (5.46), как и ранее, дает статическую ошибку. Первое слагаемое (5.46) имеет смысл только при астатизме второго порядка, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде

Первая составляющая установившейся ошибки в (5.46) называется ошибкой от ускорения:

Качество системы считается тем выше, чем больше добротность системы по ускорению

Гармоническое (синусоидальное) воздействие возмущающие воздействия в этом режиме могут оставаться постоянными или меняться. Такой режим широко применяется для оценки динамической точности САУ.

Рассмотрим ошибку только от входного воздействия

Очевидно, что в установившемся режиме ошибка будет также меняться по гармоническому закону с той же частотой Амплитудное (максимальное) значение ошибки может быть определено из (5.48) при подстановке (см. § 2.6):

Обычно поэтому модуль знаменателя (5.49) можно считать значительно большим единицы и

где — значение а.ч.х. разомкнутой системы на частоте Из (5.50) легко вытекает требование к а.ч.х. разомкнутой системы, при котором обеспечивается нужная точность управления:

или

Рис. 5.17. Ограничение к местоположению л. а. х., связанное о требованием по точности управления

Выражение (5.52) ограничивает местоположение л.а.х. требованиями по точности (рис. 5.17).

Медленно меняющиеся воздействия произвольной формы. Если внешние воздействия или имеют произвольную, но достаточно плавную форму, т. е. после начала приложения воздействия существенное значение имеет лишь конечное число производных

то составляющие установившихся ошибок от действия или могут быть определены следующим образом.

Разложим соответствующую передаточную функцию замкнутой системы по ошибке в ряд по возрастающим степеням

или

Этот ряд сходится при малых значениях т. е. при достаточно больших величинах что соответствует установившемуся режиму. Учитывая предположение (5.53), получаем выражение для установившейся ошибки при произвольном плавном (за исключением начальной точки) возмущающем воздействии

где величины называются коэффициентами ошибок. Они определяются согласно обычному правилу разложения в ряд Тейлора по формулам:

Аналогично находится установившаяся ошибка от произвольного плавного входного воздействия

где коэффициенты ошибок имеют значения

При определении коэффициентов ошибок можно не использовать формулы (5.57) и (5.59), а производить деление многочленов в выражениях (5.54) и (5.55).

В качестве примера рассмотрим коэффициенты ошибок простейшей следящей системы, имеющей инерционный усилитель с постоянной времени Т и исполнительный двигатель с постоянной времени (см. пример 5.1). Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

Производя деление многочлена числителя с на многочлен знаменателя получаем ряд

установившаяся ошибка системы

Из сравнения последних двух выражений находим значения коэффициентов ошибок:

Все коэффициенты ошибок уменьшаются с увеличением общего коэффициента усиления системы (ее добротности) Если входное воздействие имеет вид

то установившаяся ошибка системы

При имеем