§ 5.10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА

Интегральные оценки качества являются комбинированными критериями — они оценивают в совокупности запас устойчивости, быстродействие и установившуюся ошибку. Интегральные оценки основаны на разработанных условных интегральных показателях, характеризующих достаточно просто отклонение переходного процесса реальной системы от идеального.

Рис. 5.33. Простейшие интегральные оценки качества

Под идеальным обычно понимают или ступенчатый процесс, протекающий мгновенно без перерегулирования, или процесс, протекающий по экспоненте с заданными параметрами. Простейшей интегральной оценкой может служить показатель

где — отклонение регулируемой (управляемой) величины от нового заданного значения, то есть ошибка системы.

Показатель представляет собой алгебраическую сумму площадей под кривой переходного процесса (рис. 5.33, а). Чем меньше тем быстрее затухает переходный процесс и тем меньше величина отклонения, т. е. тем выше качество системы. Однако это справедливо только для систем с апериодическими переходными процессами без перерегулирования, когда не меняется знак отклонения

Качество систем с колебательными переходными процессами характеризуется квадратичной интегральной оценкой

предложенной для САУ А. А. Красовским.

Рассмотрим один из возможных способов вычисления интеграла при скачкообразном внешнем воздействии. Если изображение

регулируемой величины представляет собой дробно-рациональную функцию

и

- отклонение регулируемой величины от нового установившегося состояния, то при интеграл

где

— определители, получающиеся путем замены в определит еле столбца столбцом (штрих — знак транспонирования), а коэффициенты вычисляются по формулам:

Показатель тем меньше, чем быстрее затухает переходный процесс и чем меньше отклонение (рис. 5.33, б). Однако и квадратичная оценка не всегда является удачной, так как при такой оценке качества сильно колебательный процесс с большим перерегулированием может оказаться лучшим, чем монотонный. Квадратичная оценка, по сути дела, не учитывает близость системы к колебательной границе устойчивости.

Чтобы исключить сильную колебательность, нужно наложить ограничение не только на величину отклонения, но и на скорость отклонения Это дает так называемую улучшенную квадратичную оценку, предложенную А. А. Фельдбаумом:

где Т — некоторая постоянная времени.

Минимум показателя означает, что получен переходный процесс, близкий к экспоненте с постоянной Действительно,

Так как то, обозначая получаем

Интеграл имеет минимум, если обращается в нуль подынтегральная функция, т. е. показатель минимален, если удовлетворяет уравнению

При этом процесс имеет вид экспоненты, определяемой уравнением

т. е. в этом случае идеализированным переходным процессом служит не ступенчатая функция, а экспонента, к которой и должен стремиться реальный переходный процесс (рис. 5.33, в). Такую оценку целесообразно применять, когда можно указать значение постоянной времени Т «оптимальной» экспоненты.

Интегральные оценки используют при выборе оптимального значения какого-либо варьируемого параметра системы, обеспечивающего минимум такой оценки.

Определение интегральных оценок не требует решения дифференциальных уравнений. Например, оценки могут вычисляться по формулам Релея, Мак-Лэннона или Красовского [27].

Для более полной оценки качества переходных процессов интегральным методом нужно пользоваться старшими квадратичными интегральными оценками

Недостатком интегральных оценок является отсутствие наглядного соответствия между значениями показателей и характеристиками переходных процессов. Трудность применения интегральных оценок для определения качества САУ состоит также в относительной сложности выражений, связывающих их с параметрами системы.