Задача об абсолютной устойчивости. Частотный метод В. М. Попова.

Рассмотрим систему, описываемую уравнениями вида

где

Пусть нелинейная функция является однозначной непрерывной функцией, удовлетворяющей неравенствам

где х — вещественное число. Условия (8.25) означают, что функция не выходит за пределы секторов, образованных осью и прямой (рис. 8.6).

Состояние равновесия системы, описываемой уравнениями (8.24), называется абсолютно устойчивым, если: 1) состояние равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову; 2) область сходимости процессов к состоянию равновесия неограничена т. е. состояние равновесия устойчиво в целом; 3) условия 1 и 2 выполняются для всех функций удовлетворяющих неравенствам (8.25).

Последнее условие делает критерии абсолютной устойчивости природными для суждения об устойчивости систем, нелинейные характеристики которых точно неизвестны ввиду технологических допусков на изготовление элементов, изменения характеристик элементов в процессе эксплуатации и т. п.

Рис. 8.6. Функция, удовлетворяющая условиям (8.25)

Для решения задачи об абсолютной устойчивости может быть применен прямой метод Ляпунова.

Однако применительно к системам с одной нелинейностью более удобным методом является частотный метод, предложенный румынским ученым В. М. Поповым.

Допустим, что уравнение имеет все корни с отрицательными вещественными частями, т. е. линейная часть системы устойчива. Пусть линейной части системы.

Критерий устойчивости В. М. Попова может быть сформулирован следующим образом.

Состояние равновесия системы (8.24) с устойчивой линейной частью абсолютно устойчиво, если можно подобрать такое конечное вещественное число чтобы при всех со соблюдалось неравенство

Приведенный критерий допускает простую графическую интерпретацию, если ввести частотную характеристику положив

Частотная характеристика получается из частотной характеристики умножением каждой ординаты на соответствующее значение .

С учетом формул (8.27) неравенство (8.26) запишется в виде

Проведем в плоскости через точку ) прямую, описываемую уравнением

Из сравнения выражений (8.28) и (8.29) следует, что неравенство (8.28) будет выполнено, если при либо при где — значения, выбираемые на прямой (8.29). Отсюда следует такая формулировка критерия устойчивости В. М. Попова: состояние равновесия системы (8.24) абсолютно устойчиво, если через точку плоскости возможно провести прямую с таким угловым коэффициентом чтобы, весь годограф лежал справа от этой прямой.

Рис. 8.7. Частотная характеристика при выполнении (а) и невыполнении (б) критерия В. М. Попова

На рис. 8.7, а показан случай, когда этот критерий выполняется и, следовательно, состояние равновесия абсолютно устойчиво. На рис. изображен случай, когда названный критерий не позволяет гарантировать абсолютную устойчивость.