§ 8.2. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Основные определения.

В основе методов расчета устойчивости нелинейных систем лежит теория устойчивости движения, основанная А. М. Ляпуновым.

Рассмотрим определение устойчивости движения, данное А.М. Ляпуновым. Пусть движение САУ описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка

где — переменные, характеризующие поведение системы; — нелинейные функции своих аргументов.

Будем полагать, что в уравнениях (8.7) отсчет значений переменных ведется от значений этих переменных в исследуемом на устойчивость движении, где они равны нулю. Это исследуемое на

устойчивость движение называется невозмущенным движением (в частном случае невозмущенное движение будет просто состоянием равновесия). При указанном отсчете переменных уравнения (8.7) принято называть уравнениями возмущенного движения (по другой терминологии - уравнениями переходного процесса).

Невозмущенное движение описывается частным решением системы (8.7)

соответствующим нулевым начальным условиям (так называемое очевидное решение).

Если при хотя бы часть переменных имеет отличные от нуля значения

в теории устойчивости называемые возмущениями, то соответствующее этим возмущениям частное решение системы (8.7)

будет описывать движение, называемое возмущенным движением.

Определение. Невозмущенное движение, описываемое решением (8.8), называется устойчивым по Ляпунову относительно переменных если для любого заданного положительного числа как бы мало оно ни было, можно подобрать положительное число 6 такое, чтобы при возмущениях, удовлетворяющих неравенствам

соответствующее этим возмущениям решение (8.10) для любого удовлетворяло бы неравенствам

Если дополнительно соблюдаются равенства

то невозмущенное движение называется устойчивым по Ляпунову асимптотически. Если же для какого-нибудь положительного названного числа не существует, невозмущенное движение называется по Ляпунову неустойчивым.

Эти определения не меняются, если имеется в виду частный случай невозмущенного движения — состояние равновесия.

Иными словами, невозмущенное движение будет устойчивым; если при достаточно малом начальном отклонении любое возмущенное (отклоненное) движение будет достаточно близким к невозмущенному (неотклоненному). Примером устойчивого по Ляпунову движения может служить скатывание шарика по желобу, примером неустойчивого движения — скатывание того же шарика по ребру пирамиды (рис. 8.2).

Неустойчивые по Ляпунову движения и состояния равновесия могут получаться лишь при рассмотрении математических моделей, всегда идеализированных (шарик, движущийся по ребру пирамиды - абсолютно круглый, однородный по структуре и т. д.), физически же осуществимы только устойчивые по Ляпунову движения и состояния равновесия. Поэтому, если требуется, чтобы данный установившийся режим в системе фактически существовал, он должен быть рассчитан как устойчивый по Ляпунову.

Может оказаться, что при малых начальных отклонениях возмущенные движения будут приближаться к невозмущенному, а при больших начальных отклонениях — удаляться от него; в таком случае невозможно отыскать число превосходящее некоторую величину, при котором выполнялись бы неравенства (8.11) и (8.12) для любого заданного положительного числа .

Рис. 8.2. Устойчивое (а) и неустойчивое (б) движения шарика

Наибольшее положительное число при котором невозмущенное движение остается устойчивым по Ляпунову, ограничивает некоторую область начальных отклонений — область сходимости возмущенных движений к невозмущенному. Если число ограничивающее область сходимости, сколь угодно мало, невозмущенное движение называют устойчивым в малом, если это число достаточно велико — устойчивым в большом (или устойчивым в некоторой области). Наконец, если невозмущенное движение асимптотически устойчиво по Ляпунову и область сходимости неограничена, то невозмущенное движение называют устойчивым в целом.

Метод первого приближения.

Допустим, что функции являющиеся правыми частями уравнений возмущенного движения (8.7), могут быть разложены в степенные ряды, сходящиеся при достаточно малых значениях переменных При сделанном предположении эти функции можно линеаризовать, разложив в степенные ряды и учтя в полученных выражениях лишь линейные члены.

По формуле Маклорена для функций нескольких переменных имеем:

Здесь — нелинейные члены выше первой степени относительно индекс 0 указывает на то, что после дифференцирования в выражениях для частных производных следует положить вследствие чего все эти производные будут постоянными коэффициентами. Поскольку значения (8.8) — решения системы (8.7), справедливы равенства

С учетом равенств (8.15) из уравнений (8.7) и (8.14) получаем

где

При достаточно малых величина будет малой порядка высшего, чем Отбросив в уравнениях (8.16) нелинейные члены высших порядков малости, получим систему линейных дифференциальных уравнений

называемых уравнениями первого приближения.

Имеют место следующие теоремы Ляпунова, называемые теоремами об устойчивости по первому приближению.

Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения системы уравнений первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение нелинейной системы асимптотически устойчиво в малом, каковы бы ни были члены, откидываемые при составлении уравнений первого приближения.

Теорема 2. Если в числе корней характеристического уравнения системы уравнений первого приближения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение нелинейной системы неустойчиво, каковы бы ни были члены, откидываемые при составлении уравнений первого приближения.

Теорема 3. Если характеристическое уравнение системы уравнений первого приближения, не имея корней с положительной вещественной частью, имеет корни, вещественные части которых равны нулю, то нельзя решать вопрос об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы, не учитывая откидываемых при составлении уравнений первого приближения нелинейных членов.

Доказательство этих теорем выходит за пределы данной книги.

Случаи, когда среди корней характеристического уравнения имеются корни с равной нулю вещественной частью, называются критическими. В критических случаях невозмущенное движение может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от правых частей исходных нелинейных уравнений.

Метод анализа устойчивости нелинейных систем, называемый методом первого приближения, состоит в следующем. Сначала линеаризуют уравнения движения всех звеньев системы указанным выше способом. Затем определяют знаки вещественных частей корней характеристического уравнения линейной системы. По этим знакам на основе приведенных выше теорем Ляпунова судят об устойчивости исходной нелинейной системы.

Пример 8.1. Пусть уравнения нелинейной системы имеют вид

Откинув нелинейные члены получим линеаризованную систему, характеристическое уравнение которой

имеет корни с положительными вещественными частями. Следовательно, состояние равновесия системы (8.18) по Ляпунову неустойчиво.

Значение теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению заключается в том, что они дают строгое обоснование применению линеаризованных уравнений для суждения об устойчивости. Тем самым сложная задача анализа решений нелинейных дифференциальных уравнений в вопросах устойчивости в большинстве случаев сводится к сравнительно простой алгебраической задаче определения знаков корней характеристического уравнения, решаемой с помощью критериев устойчивости линейных систем (см. гл. 5).

Названные теоремы Ляпунова указывают также, что в критических случаях использование линеаризованных уравнений для суждения об устойчивости нелинейной системы может привести к ошибке. В таких случаях анализ устойчивости сильно усложняется. Однако критические случаи представляют интерес лишь в специальных задачах, когда по какой-либо причине нельзя изменить коэффициенты уравнений движения так, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в плоскости корней слева от мнимой оси.

Метод первого приближения позволяет установить устойчивость невозмущенного движения нелинейной системы только в малом, при этом остается открытым вопрос об устойчивости в большом. Нелинейная система, устойчивая в малом, может оказаться в большом как устойчивой, так и неустойчивой.