§ 2.6. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Временными характеристиками удобно пользоваться при определении характера переходного процесса в системах автоматического регулирования. Однако в реальных системах очень часто входной сигнал изменяется по гармоническому закону заданной амплитуды и частоты. При исследовании САР ставится задача нахождения параметров колебаний на выходе системы по известным параметрам колебаний на входе. Решение этой задачи с помощью временных характеристик представляет определенные трудности. Рассматриваемый ниже частотный метод позволяет получить реакцию звена (системы) на любой периодический сигнал.

Допустим, что сигнал, поступающий на вход звена с передаточной функцией изменяется по гармоническому закону

где — амплитуда входного сигнала; — круговая частота — начальная фаза входного сигнала.

Требуется определить выходной сигнал звена в установившемся режиме.

Используя линейное дифференциальное уравнение (2.57) и выражение (2.119), запишем

При нулевых начальных условиях решение этого уравнения в форме преобразования Лапласа будет иметь вид

Если передаточная функция (2.93) является правильной дробью то и также правильная дробь. Поэтому по теореме разложения

где — коэффициенты разложения; — корни уравнения с Решение (2.122) справедливо при отсутствии в характеристическом уравнении кратных корней.

Коэффициенты разложения могут быть найдены по формуле

Определим коэффициенты приняв, что Тогда

Подставив в это выражениеформулу (2.121), будем иметь

Так как

Выражение для

можно представить в показательной форме:

Окончательно получим

Выполнив аналогичные вычисления, можно убедиться в том, что коэффициент является комплексно-сопряженным коэффициенту

Переход от изображений к оригиналам позволяет записать

выражение (2.122) в виде

Первое слагаемое выражения (2.123) характеризует переходный процесс, второе — установившийся. В устойчивых звеньях переходный процесс с течением времени затухает поэтому

Учитывая, что искомую составляющую установившегося процесса представим в виде

Подставив в это выражение значение коэффициента получим:

Из (2.124) видно, что в итоге на выходе линейного звена устанавливаются гармонические колебания той же частоты амплитуда которых

а начальная фаза

Таким образом, зависят от частоты входного сигнала При прохождении гармонического сигнала через устойчивое линейное звено изменяется его амплитуда и начальная фаза. Для неустойчивого звена приведенные выкладки теряют физический смысл. Входной и выходной сигналы звена показаны на рис. 2.12, из которого видно, что на выходе звена сигнал смещен по фазе (принято и имеет другую амплитуду. Искаженный вид начального участка выходного сигнала объясняется влиянием переходного процесса.

Рис. 2.12. Входной и выходной гармонические сигналы линейного звена

Формулы (2.125) и (2.126) показывают, что для определения установившейся реакции звена с передаточной функцией на гармонический входной сигнал достаточно знать комплексную функцию вещественного переменного Функция

получающаяся при замене в передаточной функции на называется частотной передаточной функцией звена и может быть представлена в нескольких видах. Так, например,

где

кроме того,

где

Функция называется амплитудной частотной характеристикой а функция — фазовой частотной характеристикой звена. Функции называются вещественной и мнимой частотными характеристиками звена.

Для каждого фиксированного значения частотная передаточная функция на плоскости может быть изображена вектором отклоненным от положительного направления оси абсцисс на угол . Годограф этого вектора при изменении частоты от 0 до называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (а.ф.х.) звена.

Рис. 2.13. Амплитудно-фазовая частотная характеристика звена

Из выражения (2.125) видно, что модуль вектора равен отношению амплитуд выходного (2.124) и входного (2.119) сигналов. Угол отклонения вектора от вещественной оси может быть найден из формулы (2.126): . А.ф.х. строится по точкам при задании различных значений частоты в диапазоне от 0 до

На рис. 2.13 представлена одна из возможных форм а.ф.х. линейного звена. Зеркальное отображение этой характеристики в верхней полуплоскости объясняется тем, что замена в передаточной функции на дает сопряженные комплексные числа. Указанная на этом рисунке штриховой линией часть а.ф.х. не имеет физического смысла, однако в некоторых случаях она представляет теоретический интерес.

Построению частотных характеристик должен предшествовать подготовительный этап некоторых преобразований. Представив частотную передаточную функцию (2.127) в виде

где — вещественные части числителя и знаменателя; и — мнимые части числителя и знаменателя, можно записать

Чтобы определить достаточно числитель и знаменатель функции (2.127) умножить на комплексное выражение, сопряженное знаменателю:

Из этого выражения получим

Амплитудная, фазовая, вещественная и мнимая частотные характеристики, построенные по точкам, представлены на рис. 2.14, а, б и 2.15, а, б.

Рис. 2.14. Амплитудная (а) и фазовая (б) частотные характеристики звена

Рис. 2.15. Вещественная (а) и мнимая (б) частотные характеристики звена

При практических расчетах предпочтительнее пользоваться выражениями (2.130) и (2.131), а не (2.132) и (2.133), поскольку первые значительно проще и имеют вполне определенный физический смысл. Кроме того, характеристики могут быть получены экспериментально [10, 13].