§ 10.3. ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК И СПОСОБЫ ИХ ПОЛУЧЕНИЯ

Если параметры входят в коэффициенты передаточной функции линейно, то

где — полиномы, коэффициенты которых от не зависят.

При этом а.ч.х. и ф.ч.х. запишутся следующим образом:

где

В результате дифференцирования соотношений (10.28) и (10.29) по параметру с учетом зависимостей (10.30) получим

Пример 10.2. Пусть где

Требуется определить функции чувствительности а. ч. х. и ф. ч. х, по параметру . В этом случае

Поэтому

Рассмотрим получение функций чувствительности в случае, когда а.ч.х. и ф.ч.х. представлены как сложные функции. Пусть передаточная функция системы имеет вид (3. 43), где коэффициенты зависят от параметров. Тогда

В соответствии с правилами дифференцирования сложных функций

Сомножители определяются только структурой (значениями передаточной функции и величинами коэффициентов Выражения для этих сомножителей являются универсальными и могут быть составлены заранее следующим образом.

Для системы с передаточной функцией (3.43)

где

В соответствии с соотношениями (10.36) легко получить

По этим формулам составлены табл. 10.1 и 10.2 для типовых передаточных функций.

Сомножители и определяются зависимостью коэффициентов передаточной функции от параметров системы. Величины этих сомножителей для каждой конкретной системы находятся отдельно.

В инженерной практике широко используются экспериментальные способы снятия частотных характеристик объектов и САУ. Аналогичные способы можно использовать для получения функций чувствительности Рассмотрим один из них.

При нулевых начальных условиях изображения выходного и входного сигналов линейной стационарной системы связаны зависимостью

Поэтому изображение функции чувствительности

Для частотной передаточной функции справедливо соотношение

Отсюда

Дифференцируя выражение (10.39) по а, получаем

где

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Сравнивая соотношения (10.40) и (10.41), находим

Из зависимостей (10.42) определяем искомые функции чувствительности

Рис. 10.1 Установка для экспериментального определения функций чувствительности частотных характеристик: — низкочастотный генератор; ИС — исходная система (или ее модель); МЧ - модель чувствительности; Б — блок определения амплитудной и фазовой частотных характеристик; СКВ — синусно-косинусный вычислитель; — множительное устройство

Таким образом, чтобы найти функции чувствительности а.ч.х. и ф.ч.х., необходимо определить амплитудную и фазовую характеристики исходной системы и амплитудную и фазовую характеристики модели чувствительности.

Структурная схема экспериментальной установки для снятия функций чувствительности частотных характеристик приведена на рис. 10.1.