§ 5.9. ОЦЕНКА ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ И БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ПО ЧАСТОТНЫМ ПОКАЗАТЕЛЯМ КАЧЕСТВА

Частотные показатели качества иногда называют также косвенными показателями, поскольку они не связаны непосредственно с видом переходного процесса. Качество системы определяется по частотным характеристикам замкнутой или разомкнутой системы. Большим достоинством частотных показателей качества является возможность использования для оценки качества замкнутой системы экспериментально снятых частотных характеристик всей разомкнутой системы или ее отдельных звеньев.

Оценка запаса устойчивости и быстродействия по а.ч.х. замкнутой системы [33]

Частотную передаточную функцию замкнутой системы можно привести к виду

где

а. ч. x. замкнутой системы;

ф. ч. x. замкнутой системы (см. § 2.6)

Рис. 5.22. Возможные очертания амплитудной частотной характеристики замкнутой системы

Возможные очертания а.ч.х. замкнутой системы показаны на рис. 5.22. Для большинства САУ характеристика имеет резонансный пик Нтах. В ряде случаев не имеет пика и является невозрастающей функцией частоты. Для САУ, находящихся на колебательной границе устойчивости, характеристика терпит разрыв. Таким образом, для того чтобы САУ была достаточно удалена от границы устойчивости, величина пика а.ч.х. дрлжна быть ограничена сверху. Чем больше величина тем меньше запас устойчивости САУ, т. е. величина пика а.ч.х. замкнутой системы может служить количественной оценкой запаса устойчивости.

При исследованиях САУ запас устойчивости принято оценивать по величине так называемого показателя колебательности под которым понимают наибольшее значение отношения т. е.

В том случае, когда характеристика имеет пик , показатель колебательности

Если же характеристика является невозрастающей функцией частоты, то наибольшее значение функция имеет при и

На колебательной границе устойчивости

Для статических САУ начальная ордината

К), а для астатических С учетом этого для астатических САУ показатель колебательности определяется [вместо (5.81) и (5.82)] формулами:

или

Обычно запас устойчивости САУ считается достаточным, если показатель колебательности М лежит в пределах

Численные значения допустимой величины М получены на основании опыта и анализа систем, описываемых дифференциальным уравнением второго порядка. В последнем случае легко устанавливается связь между частотными показателями качества и показателями качества переходного процесса.

Если САУ описывается дифференциальным уравнением второго порядка, то передаточная функция замкнутой системы всегда может быть приведена к передаточной функции колебательного звена:

где — частота собственных колебаний (при отсутствии затухания); Е — коэффициент затухания. На рис. 5.23, а, приведены зависимости перерегулирования а и показателя колебательности М от коэффициента затухания Е [27]. На рис. 5.23, б для этого же случая дается зависимость перерегулирования от показателя колебательности М.

Если независимо от сложности этой

Рис. 5.23. Характеристики систем второго порядка: — зависимость количественных характеристик запаса устойчивости от величины затухания; — связь между перерегулированием и показателем колебательности

системы близка к а.ч.х. колебательного звена, то и переходные процессы в системе будут близки к переходным процессам колебательного звена. Эта гипотеза позволяет оценивать качество процессов управления по виду а. замкнутой системы, в частности, по значению показателя колебательности М. Однако в некоторых случаях а.ч.х. может иметь несколько резонансных пиков и значительно отличаться от характеристики колебательного звена.

Мерой быстродействия САУ может служить полоса пропускания До) системы, определяемая по виду а.ч.х. (см. рис. 5.22). Чем шире полоса пропускания, тем выше быстродействие системы.

Рис. 5.24. Определение запаса устойчивости по модулю и по фазе

Показателю колебательности соответствует резонансная частота которая приблизительно соответствует частоте колебаний замкнутой системы в переходном процессе. При этом время достижения первэго перерегулирования

При условии, что переходный процесс заканчивается за 1—2 колебания (что соответствует достаточно большим запасам устойчивости), пользуются следующей приближенной зависимостью для оценки времени затухания переходного процесса