§ 5.8. ОЦЕНКА ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ И БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ПО РАСПОЛОЖЕНИЮ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Диаграмма Вышнеградского. Вид корней характеристического уравнения определяет характер переходной составляющей процесса управления (см. § 5.1). Следовательно, корни уравнения могут являться мерой качества процесса управления. Впервые оценка качества системы по расположению корней была применена И. А. Вышнеградским в 1876 г. при исследовании системы регулирования, описываемой дифференциальным уравнением третьего порядка.

Рассмотрим характеристическое уравнение третьей степени

После деления на и введения новой переменной оно может быть представлено в виде

где — параметры Вышнеградского.

На плоскости параметров А и В строится гипербола Вышнеградского являющаяся колебательной границей устойчивости (рис. 5.19). Область устойчивости была разбита И. А. Вышнеградским

на три подобласти. В подобластях I и II один корень — вещественный и два корня — комплексных сопряженных, причем в подобласти ближе к мнимой оси лежит пара комплексных корней, а в подобласти II — вещественный корень. Подобласти III соответствуют три вещественных корня.

В точке С (см. рис. 5.19), где и характеристическое уравнение (5.63) принимает вид

В этой точке все три корня равны, т. е. или

В подобласти переходные процессы имеют колебательный характер, в подобласти II — монотонный, а в подобласти III — апериодический.

Степень устойчивости, затухание и колебательность. Среди корневых оценок наиболее простой и распространенной является оценка процесса по расстоянию в плоскости корней от мнимой оси до ближайшего к ней корня (рис. 5.20).

Рис. 5.19. Диаграмма Вышнеградского

Рис. 5.20. К определению степени устойчивости: а — апериодическая степень устойчивости; б — колебательная степень устойчивости

Это расстояние, называемое степенью устойчивости, было предложено в 1946 г. Я. 3. Цыпкиным и П. В. Бромбергом.

Степень устойчивости называется апериодической, если ближайший к мнимой оси корень — вещественный (рис. 5.20, а). Она называется колебательной, если ближайший к мнимой оси корень — комплексный (рис. 5.20, б). Если степень устойчивости апериодическая, то в переходном процессе доминирующее значение будет иметь экспонента, характеризуемая этим корнем. Быстрота затухания переходного процесса будет определяться этой экспонентой из известного соотношения

Если степень устойчивости — колебательная, то в общих чертах переходный процесс характеризуется затухающей синусоидой, огибающая которой имеет уравнение

и оценка времени переходного процесса может также вестись по соотношению (5.65). Поэтому степень устойчивости к) по сути дела является мерой быстроты затухания процесса и термин «степень устойчивости» было бы правильнее заменить термином «степень быстродействия».

Степень устойчивости можно вычислить без нахождения корней характеристического уравнения. При этом в процессе вычисления можно выделить два этапа: составление смещенного уравнения и применение критерия устойчивости к смещенному уравнению.

Пусть задано характеристическое уравнение замкнутой системы управления:

Сдвинем мнимую ось влево так, чтобы она прошла через первый ближайший к ней корень. Для этого произведем подстановку и получим так называемое смещенное уравнение:

Раскрывая скобки и группируя подобные члены, запишем

где

Чтобы вычислить степень устойчивости, остается применить к смещенному уравнению критерий устойчивости и определить, при каком значении получается граница устойчивости. Следует помнить, что апериодической границе устойчивости соответствует равенство нулю свободного члена, колебательной границе устойчивости — предпоследнего определителя Гурвица или прохождение кривой Михайлова через начало координат. Для этой же цели можно применять и критерий Найквиста — прохождение а.ф.х. через точку соответствует колебательной границе устойчивости.

В тех случаях, когда ближайшей к мнимой оси является пара комплексных корней оценка запаса устойчивости может вестись по величине затухания . Предполагается, что переходный процесс достаточно точно описывается выражением

причем для некоторого времени амплитуда процесса

Тогда через один период амплитуда процесса

Затуханием за период называется величина

При затухание колебаний отсутствует, т. е. САУ находится на колебательной границе устойчивости. Чем больше тем интенсивнее затухают колебания и тем больше, следовательно, запас устойчивости САУ. При колебания затухают практически за один период.

Склонность системы к колебаниям может оцениваться также по величине колебательности под которой понимают отношение мнимой и вещественной частей комплексного корня:

Подставив (5.75) в (5.74), получим соотношение

или

Отсюда следует, что затухание 5 и колебательность связаны однозначной зависимостью, и чем меньше тем больше Е и запас устойчивости САУ. Затуханию колебаний за один период, т. е. соответствует колебательность 1,57.

Рис. 5.21. Область распределения корней из условий требуемого быстродействия и требуемого запаса устойчивости

Для удовлетворения требований, предъявляемых к САУ как по быстродействию, так и по запасу устойчивости, все корни характеристического уравнения замкнутой системы должны располагаться внутри области, показанной на рис. 5.21.

Корневые методы дают возможность лишь приближенно оценивать качество САУ, поскольку при таком подходе не учитывается правая часть уравнения (нули передаточной функции) замкнутой системы. При наличии нулей решающее влияние степени устойчивости на длительность переходного процесса теряет силу. Нули передаточной функции замкнутой системы обычно способствуют перерегулированию.

Для уменьшения амплитуд собственных колебаний в переходном процессе нули передаточной функции замкнутой системы рекомендуется располагать вблизи области расположения полюсов, т. е. корней характеристического уравнения замкнутой системы.