Применение метода для синтеза нелинейных корректирующих устройств.

Пусть уравнения системы имеют вид

где

у — управляемая величина; — управляющее воздействие; а — управляющий сигнал; — коэффициенты уравнения объекта, — коэффициенты закона управления; — коэффициент жесткой обратной связи.

Структурная схема системы (8.128) изображена на рис. 8.29, а. Функция описывает естественные нелинейности, присущие исполнительному устройству. Чтобы компенсировать вредное влияние этих нелинейностей и улучшить динамические свойства системы, введем в закон управления корректирующие нелинейности. Для

Рис. 8.29. Структурные схемы: а — исходной системы; б — системы с нелинейной коррекцией

этого включим в схему следующие нелинейные элементы (рис. 8.29, б): цепь местной обратной связи, — в цепь главной обратной связи, — для преобразования управляющего сигнала в целом. Тогда уравнения системы примут вид

где — пока неизвестные нелинейные функции. Воспользуемся преобразованием

Преобразование (8.131) является частным случаем преобразования (8.115); оно будет неособым, если и корни уравнения простые и отличны от нуля. Это преобразование приводит систему (8.128) к виду

где

Систему (8.130) преобразование (8.131) приводит к виду

где

— те же, что в уравнениях (8.132).

Пусть — заданные числа, — параметры, образующие -мерное пространство Сравнения вскрывающего сечения можно получить, приравняв

нулю величины при Для сечения получим

Число неизвестных в однородной системе алгебраических уравнений (8.136) на единицу превышает число уравнений, поэтому система имеет решение, определяемое с точностью до произвольной постоянной. На параметр уравнения (8.136) не накладывают ограничений, его следует считать независимой произвольной постоянной. В итоге значения параметров для сечения определяются как линейные функции двух произвольных постоянных, т. е. сечение представляет собой плоскость размерности два. Эта плоскость в пространстве проходит через ось так как значения для нее произвольны.

Пусть — число вещественных корней уравнения Выбирая в качестве корня которому соответствует значение любой из I вещественных корней, в пространстве определим различных сечений Можно построить также сечения при

Для системы (8.128) в условиях сечения переменная согласно выражениям (8.132), (8.133), (8.136), определяется из системы

После определения остальные переменные можно найти из линейных неоднородных уравнений первого порядка по формулам (8.125). Результат исследования системы (8.132) согласно преобразованию (8.131) переносится на систему (8.128).

Для системы (8.130) в условиях сечения в соответствии с выражениями переменная а определяется из системы

а переменные как и ранее, — из неоднородных уравнений первого порядка.

Динамическое поведение системы (8.130) в условиях сечения при определяется, как отмечалось выше, поведением системы (8.138), поэтому осуществим выбор характеристик корректирующих нелинейностей при исследовании этой последней системы. Таким путем задача синтеза корректирующих нелинейностей для системы порядка сводится в основном к аналогичной

задаче для системы второго порядка, которая может быть эффективно решена с помощью фазовой плоскости.

Подчеркнем, что уравнения (8.136) определяют вскрывающее сечение и для системы (8.128), и для системы (8.130), при одинаковых значениях коэффициентов обеих систем. Это обстоятельство позволяет, сопоставляя результаты рассмотрения обеих систем, непосредственно наблюдать эффект введения нелинейностей в закон управления.

Пример 8.6. Рассмотрим систему, описываемую уравнениями

Рис. 8.30. Нелинейные характеристики системы (8.139)

Предположим, что нелинейная характеристика сервомотора имеет мертвую зону (рис. 8.30, а), а нелинейная характеристика усилителя задана в виде гистерезисной петли элемента с сухим трением или люфтом (рис. 8.30, б). Характеристика, показанная на рис. 8.30, а, описывается уравнениями

Характеристика изображенная на рис. 8.30, б, может быть описана уравнениями

Здесь — положительные постоянные коэффициенты. Объединяя нелинейности в одну, им эквивалентную, получаем

При учете последнего выражения система (8.139) запишется так:

т. е. будет представлять собой частный случай системы (8.128). С помощью преобразования (8.131) система (8.142) приводится к эквивалентному виду (8.132). Чтобы написать эквивалентную систему, определим корни уравнения

Найдем

Для определения выражений коэффициентов вычислим получим

Согласно найденным значениям (8.143), (8,144) и о учетом равенств выражения (8.133) запишутся так!

Эквивалентная система с учетом значений (8.143) при будет иметь вид

Для сокращения выкладок допустим, что коэффициенты уравнений нелинейных характеристик численно и имеют значения

При этом условии система (8.139) будет иметь только три буквенных коэффициента — которые будем считать параметрами. Допустим, что эти параметры положительны.

Построим в пространстве параметров сечения при Уравнения этих сечений имеют вид (8.136). При т. е. для сечения система (8.136) с учетом значений (8.143) запишется в виде одного уравнения

При т. е. для сечения аналогично получим уравнение

Уравнения (8.148) и (8.149) определяют сечения в пространстве в виде плоскостей, проходящих через ось Ввиду сделанного предположения о том, что параметры положительны, рассмотрим сечения, лишь в первом квадранте пространства параметров.

В условиях сечений согласно уравнениям (8.148), (8.149) один из параметров выражается через другой, так что исходная система зависит уже не от трех, а только от двух независимых параметров.

С учетом выражений (8.145) и (8.148) для сечения система (8.146) принимает вид

Аналогично для сечения эквивалентная система (8.146) запишется так:

Три уравнения системы (8.150) — уравнения для и а — образуют независимую подсистему второго порядка, из которой можно определить Характер изменения во времени переменной а передается и переменной согласно второму уравнению (8.150), имеющему при затухающую с течением времени собственную составляющую своего общего решения. Результат исследования системы (8.150) при выполнении условия (8.148) с помощью неособого преобразования вида (8.131) перенесем на исходную систему (8.139).

Таким образом, для значений параметров, принадлежащих сечению исследование исходной системы третьего порядка (8.139) сводится в основном к исследованию системы второго порядка.

Для значений параметров, принадлежащих сечению исследование системы (8.139) также сводится в основном к исследованию системы второго порядка указанного вида, но уже с другими значениями коэффициентов.

Рис. 8.31. Области устойчивости в целом и автоколебаний: а — в сечении - сечении

Для сечения система второго порядка, определяющая решение составляется из второго, третьего и четвертого уравнений (8.151).

Указанная система второго порядка при буквенных значениях всех ее коэффициентов исследована в работе [37], где в пространстве ее параметров определена бифуркационная поверхность, служащая границей между областью устойчивости в целом состояния равновесия и областью существования автоколебаний (в последней области на фазовой плоскости имеется два предельных цикла — неустойчивый внутри устойчивого). Остается воспользоваться этими результатами, подставив в них новые обозначения и соответствующие численные значения некоторых коэффициентов. Выполнив эту несложную процедуру, с помощью формул (8.126) определим бифуркационные значения параметров со, в плоскостях сечений для системы (8.139).

Так как в данном случае пространство параметров трехмерно, сечения-плоскости можно построить в аксонометрической проекции. Каждое сечение можно изобразить также на отдельном рисунке в координатах либо (такое представление будет изображением проекций сечений на координатные плоскости).

Сечения в координатах с нанесенными на них границами области устойчивости в целом состояний равновесия изображены на рис. 8.31, где заштрихованы области существования автоколебаний. В области существования автоколебаний в фазовом пространстве имеется поверхность, охватывающая начало координат, и вне ее — устойчивый предельный цикл; если в начальный момент изображающая точка расположена внутри области, ограниченной этой поверхностью, она стремится к состоянию равновесия, если вне — к предельному циклу.

Для расширения области устойчивости применим нелинейную коррекцию. Из анализа системы второго порядка на фазовой плоскости следует, что для

подавления автоколебаний нужно изменить ход фазовых траекторий при больших отклонениях. Наиболее просто этого можно достигнуть, подвергнув нелинейному преобразованию весь управляющий сигнал путем применения элемента, с характеристикой типа насыщения. В таком случае исходные уравнения вместо (8.139) примут вид

Корректирующая нелинейность описывается уравнениями:

и изображена на рис. 8.32. Уравнениям (8.152) соответствует структурная схема, показанная на рис. 8.33. Эта схема представляет собой пример рассмотренной ранее схемы (см. рис. 8.29, б), когда из трех указанных нелинейных корректирующих элементов применяется только один —

Объединяя все нелинейности системы (8.152) в одну, получаем

Система (8.152) при учете выражения (8.154) запишется так:

Но система (8.155) отличается от системы (8.142) только нелинейной характеристикой (замена обозначения а на С несущественна). Поэтому в пространстве параметров системы (8.155) построим точно такие же сечения как и для системы (8.139).

Рис. 8.32. Корректирующая нелинейность

Рис. 8.33. Структурная схема системы с нелинейной коррекцией

В условиях этих сечений анализ системы (8.155) сводится в основной части к анализу системы второго порядка, отличной от рассматривавшихся выше только нелинейной характеристикой: вместо характеристики теперь будет характеристика получаемая последовательным соединением характеристик Такая система исследована в работе [37], где в пространстве ее параметров определены бифуркационные поверхности. Используя эти результаты, выбираем численное значение коэффициента уравнений (8.153) из условия расширения области устойчивости в целом системы (8.152) по сравнению с системой (8.139):

При значениях коэффициентов (8.147), (8.156) область устойчивости в целом состояний равновесия системы (8.152) в плоскостях сечений имеет вид показанный на рис. 8.34. Для сравнения здесь же штриховой линией показана старая граница области устойчивости, которая была до введения корректирующей нелинейности.

Рис. 8.34. Расширение области устойчивости в целом за счет введения нелинейной коррекции: а — в сечении , б — в сечении

Аналогично решаются вопросы синтеза корректирующих нелинейностей из условия улучшения качества переходных процессов.

Итак, используя вскрывающие сечения, можно осуществлять синтез нелинейных корректирующих устройств для нелинейных систем высокого порядка аналитически точными методами, имея дело с исследованием систем не выше второго порядка, т. е. в конечном счете применяя результаты, полученные с помощью фазовой плоскости.

Метод сечений получил также применение для исследования и синтеза оптимальных и самонастраивающихся систем.