§ 2.7. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСНОВНЫХ СОЕДИНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ

Определим частотные характеристики основных соединений звеньев (последовательного, параллельного и встречно-параллельного), передаточные функции которых найдены в § 2.4.

Используя выражение (2.107), определяющее передаточную функцию последовательно соединенных звеньев, запишем

Следовательно, а.ф.х. последовательно соединенных звеньев равна произведению а.ф.х. отдельных звеньев.

Так как

то

или

Таким образом, при последовательном соединении звеньев их а.ч.х. перемножаются, а ф.ч.х. складываются:

При параллельном соединении звеньев

поэтому а.ф.х. параллельно соединенных звеньев

представляет собой сумму а.ф.х. отдельных звеньев. При этом вещественная и мнимая частотные характеристики запишутся так:

Имея эти зависимости, всегда можно найти

Частотные характеристки встречно-параллельного соединения звеньев удобно рассмотреть на примере частного случая — соединения с единичной обратной связью (см. рис. 2.10). Допустим, что известны все частотные характеристики звена с передаточной функцией охваченного единичной отрицательной обратной связью.

Требуется найти частотные характеристики всего соединения с передаточной функцией Подставив в выражение (2.113) значение получим а.ф.х. всего соединения, выраженную через а.ф.х. звена

Выражение (2.138) можно представить в виде

где — амплитудная и фазовая характеристики соединения.

Поскольку величина известна, то для каждого фиксированного значения из рис. 2.16 можно определить:

Рис. 2.16. К определению частотных характеристик звена с единичной отрицательной обратной связью

Проделав аналогичные вычисления для нескольких значений , можно получить искомые характеристики

Иногда эту же задачу удобнее решать при помощи так называемых номограмм для замыкания. Существуют различные виды номограмм, однако наиболее широко применяются номограммы для определения характеристик по

Характеристику (2.138) можно представить следующим образом:

откуда

Переписав это выражение в виде

и выполнив ряд алгебраических преобразований, получим

Выражение (2.141) при представляет собой уравнение окружности, центр которой на комплексной плоскости имеет координаты а радиус равен причем

Зависимости представлены на рис. 2.17 и 2.18.

Уравнение (2.141) определяет геометрическое место точек на плоскости звена охваченного обратной связью. Для этих точек амплитудная характеристика всего соединения имеет постоянную величину.

Рис. 2.17. Зависимость

Рис. 2.18. Зависимость

Задавая различные значения Я, получим семейство окружностей, приведенное на рис. 2.19. Нанеся на этот же рисунок известную характеристику определим Таким образом, рассмотренная номограмма позволяет найти амплитудную характеристику замкнутой системы по а.ф.х. разомкнутой системы

Рис. 2.19. Номограмма для определения

Рассмотрим номограмму, определяющую фазовую характеристику замкнутой системы по а.ф.х. разомкнутой системы Умножим числитель и знаменатель а.ф.х. (2.140) на выражение

Представим ее следующим образом:

Отсюда следует, что

Из выражения (2.143) после алгебраических преобразований найдем

При данное уравнение является уравнением окружности, центр которой имеет координаты а радиус определяется выражением Эта окружность представляет собой геометрическое место точек на плоскости разомкнутой системы для которых Прямой подстановкой можно убедиться в том, что точки удовлетворяют уравнению окружности при любом Следовательно, все окружности, описываемые этим уравнением, проходят через начало координат и точку (рис. 2.20).

Рис. 2.20. Номограмма для определения

Рис. 2.21. Зависимость

На рис. 2.21 представлена зависимость Как видно из этого рисунка, каждому значению соответствует два значения 0, из которых одно положительное, а второе — отрицательное; их сумма всегда равна Если рис. 2.20 дополнить а.ф.х. Н/со), то без всяких расчетов можно определить ф.ч.х.:

Получим вещественную и мнимую частотные характеристики замкнутой системы. Из формулы (2.142) следует, что

Перепишем выражение (2.145) в виде

откуда

Дополнив это равенство слагаемыми получим

Следовательно, уравнение линии на плоскости а. ф. x. разомкнутой системы представляет собой окружность с центром в точке и радиусом причем

Зависимость представлена на рис. 2.22. Семейство окружностей для различных значений изображено на рис. 2.23, из которого видно, что все окружности имеют общую точку

Рис. 2.22. Зависимость

Рис. 2.23. Номограмма для определения

Из выражения (2.146) можно получить мнимую частотную характеристику замкнутой системы. Для этого перепишем его в виде

Дополнив правую и левую части равенства слагаемым будем иметь

Уравнение (2.148) представляет собой также уравнение окружности, центр которой находится в точке а радиус равен Задавая различные значения V, получим семейство окружностей (рис. 2.24), имеющих общую точку

Рассмотрим соединение с неединичной обратной связью с передаточной функцией (2.112). Умножив числитель и знаменатель

Рис. 2.24. Номограмма для определения мнимой частотной характеристики соединения с единичной обратной связью

этой функции на получим

Таким образом, соединение с неединичной обратной связью (рис. 2.25) эквивалентно последовательному соединению двух звеньев, одно из которых с передаточной функцией не имеет обратной связи, а второе представляет собой рассмотренное выше соединение с единичной обратной связью.

Рис. 2.25. Эквивалентная схема соединения звеньев с неединичной обратной связью