Прямой метод Ляпунова.

Представим себе некоторую функцию координат системы непрерывную и однозначную в рассматриваемой области вместе со своими частными производными первого порядка и обращающуюся в нуль, когда все координаты равны нулю:

Функцию V, равную нулю только при а при всех других значениях в данной области имеющую один и тот же знак, будем называть знакоопределенной в этой области.

Функцию V, обращающуюся в нуль не только при но также и при каких-нибудь других значениях переменных в данной области, а при всех остальных значениях сохраняющую постоянный знак, будем называть знакопостоянной в данной области.

Рассмотрим структуру знакоопределенных функций. Возьмем для простоты Задав постоянное значение знакоопределенной функции, получим уравнение Можно считать, что оно определяет в неявном виде зависимость от Так как то график этой зависимости при достаточно малом С представится на плоскости замкнутой кривой, окружающей начало координат

(рис. 8.3). Если задать ряд значений то получим ряд замкнутых кривых — линий уровня функции V, причем если то кривая будет лежать внутри кривой

Пусть теперь — произвольное целое число. Подобно случаю можно считать, что уравнения

определяют при достаточно малых значениях С в -мерном пространстве прямоугольных координат замкнутые поверхности, окружающие начало координат — причем поверхности, которым соответствует большее значение постоянной С, содержат внутри себя поверхности с меньшим значением этой постоянной.

Рис. 8.3. Линии уровня знакоопределенной функции двух переменных

Рис. 8.4. К определению производной по направлению

Заметим, что требование достаточной малости С в этих рассуждениях можно отбросить, если потребовать, чтобы знакоопределенная функция V не только обращалась в нуль в начале координат, но и непрерывно возрастала по модулю при увеличении .

Полагая, что координаты — функции времени, являющиеся решением уравнений возмущенного движения, вычислим производную от функции V по времени, дифференцируя ее как сложную функцию:

Выясним смысл этой производной. Возьмем сначала Тогда V можно считать функцией точки на плоскости Напомним, что производная такой функции по заданному направлению равна сумме произведений производных по направлениям взаимно перпендикулярных осей на косинусы углов между этими осями и заданным направлением. Выберем за оси касательную к линии уровня функции V и нормаль к этой линии, направленную в сторону возрастания V (рис. 8.4). Тогда производная по направлению

Последний член равен нулю, так как в направлении линии уровня Аналогично для направления находим

Следовательно, в случае согласно формуле (8.20), имеем

Рассмотрим теперь плоскость с другой точки зрения. Во время движения системы ее координаты изменяются, принимая в каждый момент времени определенные значения. Если переменные считать координатами точки на плоскости, то движению системы будет соответствовать перемещение этой точки по плоскости. При изменении времени такая точка, называемая изображающей тонкой, опишет некоторую траекторию, которой соответствует радиус-вектор его проекции на координатные оси. Множители и в выражении (8.21) являются производными от этих проекций по времени, но производная проекции вектора по времени равна соответствующей проекции производной вектора, т. е., если — вектор скорости изображающей точки, то

Тогда из формулы (8.20) получаем

где — проекция вектора скорости изображающей точки на нормаль к линии уровня функции V. Поскольку указанная нормаль направлена в сторону возрастания V, всегда имеем , следовательно, знак V совпадает со знаком

Если — произвольное положительное целое число, то приведенные рассуждения не изменятся, только усложнятся выкладки, производимые для с помощью понятий многомерной геометрии. По-прежнему получим

где — проекция вектора скорости изображающей точки на ось Подставив последние выражения в формулу (8.20), будем иметь

где функция если нормаль к поверхности направлена в сторону возрастания V.

Таким образом, знак производной от функции V по времени совпадает со знаком проекции скорости изображающей точки на нормаль к поверхности

Для определения знака производной V в конкретной задаче необходимо в выражении (8.20) все множители заменить их значениями из уравнений возмущенного движения (8.7), тогда

Заметим, что, согласно выражениям (8.15) и (8.23), при обязательно Будем полагать также, что V, как функция координат системы, непрерывна и однозначна. В частности, она может быть одной из вышеуказанных функций — знакоопределенной или знакопостоянной.

Теперь легко доказать следующие теоремы Ляпунова.

Теорема I. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию производная которой V в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного с V знака, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Если при этом V представляет знакоопределенную функцию противоположного с V знака, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически.

Доказательство. Пусть такая функция V найдена, т. е. в пространстве прямоугольных координат построены поверхности, определяемые уравнениями (8.19). Не нарушая общности, можно считать, что V — знакоопределенная положительная функция (в противном случае возьмем функцию —V). Тогда по условиям теоремы и вследствие (8.22) имеем Последнее означает, что изображающая точка либо движется к началу координат, пересекая поверхности в направлении убывающих значений С (при ), либо остается на какой-нибудь поверхности (при ), но не может двигаться в направлении возрастающих значений С. Для любого положительного числа всегда можно подобрать положительное число так, чтобы область размещалась внутри одной из замкнутых поверхностей а последняя, в свою очередь, лежала внутри области Тогда изображающая точка, расположенная в начале своего движения в области никогда не достигнет границ области что и означает устойчивость невозмущенного движения. Если при этом V — функция знакоопределенная, то она, а следовательно и обращается в нуль только в начале координат, где что означает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения.

Теорема доказана.

Для приведенное доказательство иллюстрирует рис. 8.5, а. функции V, удовлетворяющие условиям теоремы I, принято называть функциями Ляпунова.

Теорема II. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией, знак которой при некоторых значениях численно сколь угодно малых, совпадал бы со знаком V, то невозмущенное движение неустойчиво.

Рис. 8.5. К доказательству первой (а) и второй (б) теорем прямого метода Ляпунова

Доказательство этой теоремы, аналогичное доказательству предыдущей, предоставляется сделать читателю. Для это доказательство иллюстрируется на плоскости (рис. 8.5, б).

Итак, чтобы доказать устойчивость движения, достаточно найти функцию V, удовлетворяющую условиям теоремы I — функцию Ляпунова. В этом и состоит прямой метод Ляпунова.

Заметим, что в конкретных задачах приходится применять различные приемы для построения функций Ляпунова.

Пример 8.2. Пусть система уравнений возмущенного движения имеет

Требуется определить, устойчиво ли невозмущенное движение, которому соответствует нулевое решение

Возьмем знакоопределенную положительную функцию и по формуле (8.23) вычислим ее производную

Функция V будет знакопостоянной отрицательной. Согласно теореме I невозмущенное движение устойчиво.

Прямой метод Ляпунова дает возможность строго исследовать устойчивость сложных нелинейных систем, дифференциальные

уравнения движения которых нельзя проинтегрировать в квадратурах, притом систем со многими степенями свободы, уравнения движения которых имеют высокий порядок.

Главное значение прямого метода Ляпунова для теории автоматического регулирования и управления состоит в том, что он позволяет решать задачу об устойчивости не только в малом, но и в большом; В самом деле, из изложенного выше следует, что если функция Ляпунова определена не только при малых, но и при достаточно больших, по модулю значениях переменных то тем самым доказана устойчивость невозмущенного движения при указанных значениях переменных.

При решении задачи об устойчивости часто бывает важно найти наибольшие по модулю значения переменных, при которых невозмущенное движение еще остается устойчивым (границу устойчивости). Определение такой границы устойчивости с помощью прямого методу Ляпунова весьма сложно, а в большинстве случаев невозможно. В самом деле, построив какую-нибудь функцию Ляпунова и получив с ее помощью область сходимости процессов к состоянию равновесия, например, нельзя быть уверенным в том, что определена граница устойчивости. Может оказаться, что если бы мы. сумели подобрать в данной задаче другую функцию Ляпунова, то определили бы с ее помощью более широкую область устойчивости; например , где Тогда условия будут достаточными для устойчивости в большом, но не будут необходимыми, ибо при но также будет иметь место устойчивость.

Прямой метод Ляпунова получил развитие в работах Н. Г. Четаева, Н. Н. Красовского, В. И. Зубова, А. И. Лурье, А. М. Летова и др. (см. библиографию в конце книги). В частности, в работах этих ученых указаны способы построения функций Ляпунова, дающих достаточно широкие области устойчивости для важных классов нелинейных систем.