Оценка запаса устойчивости и быстродействия по а.ф.х. разомкнутой системы [33].

Запас устойчивости замкнутой системы определяется степенью удаления а.ф.х. разомкнутой системы от точки Прохождение а.ф.х. через эту точку соответствует нахождению САУ на колебательной границе устойчивости. Удаление а.ф.х. от точки соответствует повышению запаса устойчивости.

Рассмотрим количественные оценки степени удаления а.ф.х. от точки Удаленность а.ф.х. можно характеризовать при помощи двух положительных чисел называемых запасами устойчивости САУ по амплитуде (по модулю), и по фазе (рис. 5.24, а). Из рисунка следует, что

Запас устойчивости по амплитуде показывает, на какую величину должен измениться модуль а.ф.х. разомкнутой системы на частоте, при которой фазовая характеристика достигает значения для того чтобы замкнутая САУ оказалась на колебательной границе устойчивости.

Запас устойчивости по фазе показывает, на какую величину должно увеличиться отставание по фазе в разомкнутой системе на частоте, при которой а.ч.х. равняется единице [т. е. ], для того чтобы замкнутая САУ оказалась на колебательной границе устойчивости.

Оценки запаса устойчивости по просты, удобны и наглядны. Ими легко пользоваться также в тех случаях, когда рассматриваются логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы (рис. 5.24, б).

Достаточными запасами устойчивости считаются значения

Для оценки степени удаленности а.ф.х. разомкнутой системы от точки может применяться показатель колебательности М. Покажем, что величину М легко определить по а.ф.х. разомкнутой системы. Полагая получим, что частотная передаточная функция замкнутой системы

откуда а. ч. х. замкнутой системы

При формула (5.96) определяет в неявном виде некоторую функциональную зависимость между и V (см. § 2.7). Геометрически на плоскости эта зависимость сводится к кривой, представляющей собой геометрическое место всевозможных значений и У, при которых а.ч.х. замкнутой системы имеет постоянное значение Н. Для каждого значения Н формула (5.96) определяет свою кривую на плоскости Найдем уравнение семейства кривых для чего возведем обе части равенства (5.96) в квадрат и несколько преобразуем его:

После добавления к левой и правой частям уравнения величины уравнение (5.97) приводится к виду

где

Уравнение (5.98) есть уравнение окружности с радиусом и центром —С (рис. 5.25). При значение и окружность вырождается в прямую, параллельную оси ординат и проходящую слева от нее на расстоянии 0,5. Окружности, соответствующие значениям расположены слева, а окружности, соответствующие значениям — справа от прямой При окружность вырождается в точку, совпадающую с точкой

Рис. 5.25. Семейство окружностей и а. ф. х. разомкнутой системы

Рис. 5.26. Запретная зона для а. ф. х. разомкнутой системы при заданном значении показателя колебательности М

По семейству окружностей и а.ф.х. разомкнутой системы нетрудно построить а.ч.х. замкнутой системы. Для каждого значения частоты о на а.ф.х. амплитудная характеристика равна индексу той окружности которая проходит через точку а.ф.х., соответствующую рассматриваемому значению Наибольшее значение равно индексу той окружности которой касается а.ф.х. разомкнутой системы. Для случая, изображенного на рис. Резонансная частота равна значению при котором а.ф.х. касается окружности Нтах. По значению легко определяется показатель колебательности М [см. (5.81), (5.82), (5.85), (5.86)]. Так, для астатических систем, имеющих резонансный пик, , т. е. показатель колебательности равен индексу той линии которой касается а.ф.х. В связи с этим для астатических систем линии часто условно называют линиями постояниыхзначений показателя колебательности М и оцифровку этих линий дают прямо в значениях М. Для астатических систем величина показателя колебательности не превосходит заданного значения М, если а.ф.х. разомкнутой системы не заходит внутрь запретной зоны, представляющей собой круг радиуса с центром в точке на отрицательной

вещественной полуоси (рис. 5.26). Запретная зона окружает точку и обеспечивает получение необходимого запаса устойчивости.

Показатель колебательности М может быть определен и в случае использования логарифмических частотных характеристик. Для этого предварительно рассмотрим условия, которым должны удовлетворять отдельно амплитудная и фазовая частотные характеристики, для того чтобы а.ф.х. разомкнутой системы не заходила внутрь запретной зоны. На окружности (см. рис. 5.26) возьмем произвольную точку В и проведем в нее вектор. Из треугольника для этого вектора найдем связь между модулем А и запасом по фазе у:

Так как

то

Эта зависимость существует только для значений модулей (см. рис. 5.26)

Максимальный запас по фазе будет, когда вектор касается окружности и треугольник является прямоугольным.. Тогда и

По выражению (5.100) можно построить графики у -кривых, дающие связь для различных значений а следовательно, и При построении у-кривых (рис. 5.27) модуль А откладывается обычно в децибелах.

-кривые позволяют построить запретную зону заданного показателя колебательности М для л.ф.х. по имеющейся л.а.х. (рис. 5.28, а).

Строится требуемое значение запаса по фазе для каждого значения модуля, лежащего в пределах (5.101). При сложной форме л.а.х. может появиться несколько

Рис. 5.27. -кривые

запретных зон для л.ф.х. (рис. 5.28, б). Этот случай соответствует а.ч.х. замкнутой системы с несколькими резонансными пиками.

По у-кривым можно также построить запретную зону заданного показателя колебательности М для л.а.х. по имеющейся фазовой характеристике (рис. 5.29).

Рис. 5.28. Запретные зоны для л. ф. х.

Здесь строится требуемое значение модуля для каждого значения запаса по фазе, лежащего в пределах Построение запретной зоны для л.а.х. оказывается предпочтительнее более распространенного построения соответствующей запретной зоны для л.ф.х., например, в тех случаях, когда решается задача определения максимально допустимого значения общего коэффициента усиления разомкнутой системы при обеспечении требуемого запаса устойчивости М.

Рис. 5.29. Запретные зоны для л.а.х.

Рис. 5.30. Запретная зона для а.ф.х. разомкнутой системы при заданном значении показателя колебательности

Вместо оценки запаса устойчивости по показателю колебательности М в последнее время все большее распространение получает оценка по так называемому показателю колебательности Показатель колебательности также характеризует степень удаления а.ф.х. разомкнутой системы от точки Запас устойчивости в этом случае оценивается по величине наименьшего радиуса окружности с центром в точке с координатами касающейся а.ф.х. разомкнутой системы (рис. 5.30). Установлено, что приемлемым запасам устойчивости соответствуют значения Значения соответствуют довольно большим запасам устойчивости, при

которых перерегулирования весьма малы или полностью отсутствуют. Меньшие значения являются вполне удовлетворительными для большинства САУ. Максимальный запас по фазе (рис. 5.30)

При помощи -кривых (по аналогии с у-кривыми) запретные зоны могут быть построены для л.ф.х. по имеющейся л.а.х. или для л.а.х. по имеющейся л.ф.х. Из треугольника по теореме косинусов

Зависимость (5.104) существует только для модулей, лежащих в пределах

Графики для различных значений построены на рис. 5.31. Запретные зоны для логарифмических характеристик приведены на рис. 5.32.

Оценка быстродействия по частотным характеристикам разомкнутой системы базируется на определении полосы пропускания. Чем больше полоса пропускания, тем выше быстродействие. При этом используется приближенное соотношение между частотой среза разомкнутой системы [на частоте среза ] и резонансной частотой замкнутой системы и формулы (5.89), (5.90).

Рис. 5.31. -кривые

Рис. 5.32. Запретная зона для л.ф.х. (а) и для л.а.х. (б)

Если переходный процесс в системе заканчивается за 1-2 колебания, то время его затухания

где

Таким образом, частота среза может служить мерой быстродействия системы.

Наглядной и простой мерой быстродействия системы является также частота (см. рис. 5.17), при которой входное воздействие вида воспроизводится системой с амплитудой ошибки не более