§ 9.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Возмущения, действующие на любую САУ, являются в общем случае случайными функциями времени. Вследствие этого задача исследования точности САУ состоит в определении вероятностных характеристик выходных величин системы по вероятностным характеристикам входных случайных сигналов и заданным характеристикам системы. Если на вход замкнутой системы с функцией веса подан случайный сигнал при нулевых начальных условиях, то (см. § 2.5) реакция этой системы

Будем считать известными статистические характеристики воздействия математическое ожидание и корреляционную функцию Предположим, что можно получить статистические характеристики выходной координаты математическое ожидание и корреляционную функцию Достаточно ли этих

характеристик выходной координаты для оценки точности САУ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим следующий пример. Пусть к некоторой системе предъявлено следующее требование по точности: максимальное отклонение выходной координаты от среднего значения в момент окончания работы системы не должно превышать некоторой величины: . Зная максимально возможное значение величины и предполагая, что эта величина подчинена нормальному закону распределения, можно сформулировать ограничения на с.к.о. и дисперсию:

Если любое из этих условий выполняется, то система удовлетворяет поставленным к ней требованиям. Так как по корреляционной функции можно найти дисперсию координаты в любой момент времени, то, определив корреляционную функцию, можно судить о точности системы.

Сказанное справедливо только при нормальном распределении случайных сигналов. Если случайные воздействия не подчинены нормальному распределению, то для анализа точности системы необходимо задать закон распределения выходных координат системы или знать центральные моменты высшего порядка случайной функции при текущих значениях аргумента.

Взяв математическое ожидание от левой и правой частей равенства (9.13), получим выражение для математического ожидания выходной координаты системы

Корреляционная функция реакции системы является математическим ожиданием произведения центрированных значений реакции системы в различные моменты времени

Для стационарного входного сигнала и

Дисперсия реакции системы в момент времени

Из выражений (9.15) и (9.16) следует, что на выходе стационарной линейной системы при стационарном входном воздействии стационарный случайный процесс будет иметь место только в установившемся режиме когда

Корреляционная функция реакции САУ в установившемся режиме

Чтобы оценить точность САУ в установившемся режиме, нет необходимости вычислять корреляционную функцию системы по формуле (9.19). Достаточно лишь найти дисперсию по формуле (9.18), что связано с определением двух интегралов во временной области и не всегда удобно. Поэтому, если функция веса и корреляционная функция стационарного входного воздействия имеют преобразование Фурье, дисперсию вычисляют в частотной области. Проводя преобразование Фурье над левой и правой частями выражения (9.19) и учитывая, что

найдем спектральную плотность стационарного выходного сигнала

Зная спектральную плотность выходного сигнала можно по формуле (9.9) определить корреляционную функцию выходного сигнала и по формуле (9.10) — дисперсию реакции системы.

Подставив выражение (9.20) в (9.10), получим

При действии на входе системы двух некоррелированных случай» сигналов [задающего воздействия и помехи спектральная плотность реакции системы

Дисперсию можно вычислить аналитически, если частотную передаточную функцию и спектральную плотность представить в виде дробно-рациональных функций:

где — полиномы от аргумента

Квадрат модуля частотной передаточной функции

(черта сверху — знак комплексно-сопряженной величины).

Знаменатель и числитель спектральной плотности также можно разложить на произведение множителей, комплексно-сопряженных друг с другом:

С учетом приведенных замечаний

Обозначив

получим

В формуле (9.23) удобно перейти к переменной

Нули должны быть при этом расположены в левой полуплоскости.

Не излагая общий метод вычисления интеграла (9.24), приведем окончательный результат в виде табл. 9.1, содержащей значения интегралов выраженных в явном виде через коэффициенты для значений от 1 до 4.

Таблица 9.1 (см. скан) Интегралы типа (9.24)

Пример 9.1. Определим дисперсию установившейся реакции следящей системы (рис. 3.2, б), если передаточная функция системы

а спектральная плотность входного случайного сигнала

Следуя рассмотренной выше методике определения интеграла (9.24), вычислим дисперсию выходной координаты системы. Для этого:

а) представим спектральную плотность в виде

б) определим функцию и параметры

в) определим функцию и параметры

г) выпишем из табл. 9.1 выражение для интеграла при

В табл. 9.2 приведены числовые значения дисперсии в зависимости от параметра а входного сигнала при сек; град.

Таблица 9.2

Из табл. 9.2 следует, что с уменьшением корреляционной связи между различными значениями входного сигнала с.к.о. выходного сигнала сначала увеличивается, а затем уменьшается.

Пример 9.2. Пусть на входе следящей системы с передаточной функцией (9.25) действует входной сигнал со спектральной плотностью (9.26) и помеха со спектральной плотностью Определим дисперсию установившейся ошибки следящей системы в отработке угла, заданного входным сигналом

Передаточная функция следящей системы по ошибке

При отсутствии корреляционной связи между входным сигналом и помехой спектральная плотность ошибки

Как видно, спектральная плотность ошибки состоит из двух компонент. Первая соответствует входному сигналу, вторая — помехе.

Дисперсия ошибки

Используя выражения (9.29) и (9.30), получим

Легко видеть, что

Определим дисперсию реакции системы с передаточной функцией (9.32) при действии на ее входе сигнала со спектральной плотностью (9.26), т. е. первое слагаемое выражения (9.31).

Следуя рассмотренной выше методике, получаем

Поэтому

где

После подстановки выражений для коэффициентов и получим

В табл. 9.3 приведены значения дисперсии реакции системы и с. к. о. в установившемся режиме при следующих значениях параметров системы: град.

Таблица 9.3

Из табл. 9.3 следует, что с. к. о. возрастает с уменьшением корреляционной связи между значениями входного сигнала. Найдем теперь дисперсию выходного сигнала следящей системы, передаточная функция которой имеет вид (9.25), а на входе действует «белый шум» со спектральной плотностью Следуя рассмотренной выше методике определения интеграла (9.24), определим второе слагаемое выражения (9.31). Будем иметь:

После подстановки выражений для коэффициентов получим

Суммируя выражения (9.33) и (9.34), найдем

Выражение (9.35) позволяет при заданных числовых значениях параметров системы и входных сигналов вычислить дисперсию ошибки следящей системы в установившемся режиме.

В переходном процессе дисперсия выходного сигнала не является постоянной и для ее определения необходимо использовать методы статистического исследования автоматических систем во временной области с использованием соотношений (9.13), (9.16) или (9.17).

Выражения (9.16) и (9.17) являются достаточно громоздкими в вычислительном отношении для систем, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка. Они значительно упрощаются при воздействии на САУ случайного процесса в виде «белого шума», для которого

С учетом этого выражения (9.16) и (9.17) можно записать в виде

Из выражения (9.37) следует, что дисперсия выходного сигнала САУ при воздействии на нее «белого шума» определяется достаточно просто.

Пример 9.3. Определим дисперсию выходной координаты САУ, описанной дифференциальным уравнением первого порядка

на входе которой приложена помеха типа «белого шума» с корреляционной функцией

Так как функция веса системы, описанной уравнением (9.38),

то, используя выражение (9,37) для дисперсии выходного сигнала, получим

Из выражения (9.39) следует, что дисперсия рассматриваемой системы в переходном процессе изменяется от 0 до установившегося значения по экспоненте.

Приведенное значение дисперсии выходного сигнала в установившемся режиме легко получить, используя преобразования в частотной области.

Пример 9.4. Определим дисперсию выходной координаты САУ, описанной дифференциальным уравнением второго порядка

на входе которого приложена помеха типа «белого шума» с корреляционной функцией

Функция веса системы

Подставляя выражение (9.41) в соотношение (9.37), получим

Из выражения (9.42) следует, что значение дисперсии рассматриваемой системы в установившемся режиме равно Дисперсия выходного сигнала в переходном процессе изменяется от 0 до

Рассмотренные методы анализа точности САУ, на входе которых действуют стационарные случайные сигналы, и решенные иллюстративные примеры указывают на сравнительную простоту задач статистического анализа линейных стационарных систем в установившемся режиме и в переходном процессе.

Однако если дифференциальные уравнения, описывающие работу САУ, будут выше второго порядка, то без применения цифровых или аналоговых вычислительных машин определение дисперсии выходных координат систем в переходном процессе будет значительно затруднено из-за громоздкости аналитического вычисления как функции веса, так и интеграла от квадрата функции веса.

В практике исследования САУ под действием случайных возмущений часто встречаются случаи, когда помехи или сигналы представляют собой случайные величины или элементарные случайные функции. Так, пусть случайное воздействие представлено в виде суммы элементарных случайных функций:

Подставляя выражение (9.43) в интеграл свертки (9.13), получим

откуда

Если случайные величины некоррелированы между собой, то

Интегралы в выражениях (9.45) — (9.49) представляют собой реакции системы с функцией веса на входные сигналы Введем обозначение

Тогда выражения (9.45), (9.48) и (9.49) можно переписать так:

Функции можно вычислить аналитическим способом или с помощью вычислительных машин.

Если возмущение представляет собой случайную величину, т. е. координатная функция то реакция САУ

где — переходная функция системы.

В рассматриваемом случае статистические характеристики выходной координаты системы рассчитываются по наиболее простым соотношениям:

Из сказанного следует, что задача исследования статистических характеристик выходных координат линейных систем, подверженных воздействию случайных возмущений, для которых заданы

канонические разложения вида (9.11), достаточно проста. Очевидно, что использование неканонических разложений (9.12) при анализе линейных систем нецелесообразно при аналитических решениях, так как здесь возмущающее воздействие является нелинейной функцией случайных величин.