ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

§ 8.1. ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ. ТИПИЧНЫЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Задачи теории нелинейных систем.

Все технические системы, как правило, нелинейны. Однако первый этап изучения реальных систем состоит в исследовании их линейных математических моделей, которые являются наиболее простыми из возможных.

Теория линейных систем, базирующаяся на линеаризованных уравнениях движения, является достаточно хорошо разработанной Отраслью науки. Применение этой теории к анализу и синтезу систем носит двоякий характер. Во-первых, имеется возможность совершенно строго анализировать методами линейной теории устойчивость «в малом» (при малых колебаниях) широкого класса реальных систем благодаря теоремам Ляпунова об устойчивости по первому приближению (см. § 8.2). Во-вторых, часто допускают, что отклонения характеристик системы от линейных малы и на основе этого применяют методы линейной теории для исследования поведения систем не только «в малом», но и «в большом». Полученные при таком допущении результаты могут быть подтверждены или опровергнуты практикой в зависимости от того, насколько значительно влияние отброшенных нелинейностей. Для детального и всестороннего изучения реальных систем линейные математические модели часто являются слишком упрощенными и грубыми, требуется рассмотрение нелинейных моделей.

Теория нелинейных автоматических систем, базирующаяся на нелинейных уравнениях движения, представляет собой значительно более широкую отрасль науки, нежели теория линейных систем. Вместе с тем, вследствие трудности исследования нелинейных моделей, теория нелинейных систем разработана не столь полно, хотя и здесь Достигнуты фундаментальные результаты.

Одна из проблем нелинейной теории состоит в анализе динамического поведения нелинейных систем. Иными словами, первая задача Нелинейной теории — учесть наличие в уравнениях движения тех нелинейностей, которые присущи определенным звеньям реальной системы в силу их природы; выяснить, как эти нелинейности влияют на работу системы; найти пути компенсации вредного влияния и спо-Собы использования положительного влияния этих нелинейностей.

Другая проблема нелинейной теории состоит в синтезе таких нелинейных систем, которые наилучшим образом отвечали бы предъявляемым к ним требованиям. Иначе говоря, вторая задача теории нелинейных автоматических систем — выяснить, какие нелинейности

должны быть специально введены в реальную систему, для того чтобы эта система была оптимальной с определенной точки зрения.

Вторая из указанных задач исторически возникла более поздно нежели первая. Она непосредственно связана с построением адаптивных и оптимальных систем, с синтезом нелинейных законов управления и др.

При построении нелинейных моделей автоматических систем обычно выделяют несколько, например одно или два, звеньев системы с нелинейными уравнениями, считая при этом уравнения остальных звеньев линейными. Таким образом учитываются наиболее «сильно

Рис. 8.1. (см. скан) Типичные нелинейности: а — гистерезисная петля люфта; б — мертвая зона; в — мертвая зона при кусочно-линейной аппроксимации; г — нелинейность типа насыщения; д — нелинейность типа насыщения при кусочно-линейной аппроксимации; е — релейная характеристика с мертвой зоной; ж — идеальная релейная характеристика; з - релейная характеристика с зоной неоднозначности; и — характеристика с мертвой зоной и насыщением; к — релейная характеристика с мертвой зоной и зонами неоднозначности

выраженные» нелинейности. Если движение остальных звеньев системы действительно достаточно точно описывается решениями лилейных уравнений, то при таком способе исследования можно получить результаты, хорошо согласующиеся с опытными данными. Во всяком случае, такая нелинейная модель более полно отражает свойства реальной системы, нежели линейная модель, и поэтому позволяет получить существенную дополнительную информацию о поведении системы.

Типичные нелинейности.

Изучение реальных характеристик автоматических устройств позволяет выделить типичные нелинейности, которые встречаются наиболее часто.

Одной из таких нелинейностей является гистерезисная петля люфта. Пусть — углы поворота ведущей и ведомой шестерней. При изменении величина остается постоянной, пока не будет выбран зазор (люфт) в зацеплении. Процессу выборки люфта соответствует один из горизонтальных отрезков характеристики (рис. 8.1, а), для которых а движению с выбранным люфтом — один из наклонных отрезков.

Ясно, что при вращении ведомой шестерни в одном направлении (например, при возрастании люфт выбран в одну сторону, а при вращении в противоположном направлении — в другую. Поэтому при возрастании изображающая точка движется по прямой а при убывании — по прямой т. е.

где — половина ширины люфта; — коэффициент пропорциональности.

Горизонтальные отрезки между прямыми А В и описываются уравнениями

В целом характеристика люфта, изображенная на рис. 8.1, а, будет описываться уравнениями (8.1) и (8.2). Такая нелинейная характеристика имеет место при наличии люфта в сочленении рычагов, тяг и т. п.

Типичной нелинейностью в устройствах автоматического управления является мертвая зона (рис. 8.1, б), определяемая таким интервалом изменения входной координаты нелинейного звена, для которого выходная координата равна нулю.

Мертвая зона имеется у характеристик большинства исполнительных элементов; при этом — управляющий сигнал, — скорость изменения координаты исполнительного элемента. Например, скорость гидравлического поршневого сервомотора равна нулю пока перепад давлений в полостях не достигает определенной величины Наличие мертвой зоны у сервомотора объясняется силами трения между поршнем сервомотора и стенками его цилиндра, силами сухого трения в регулирующем органе, соединенном с сервомотором, и в передаточном механизме между сервомотором и регулирующим

органом. Кроме того, мертвая зона может быть следствием протечек рабочей жидкости между поршнем и цилиндром сервомотора.

У гидравлических сервомоторов с золотниковым управлением мертвая зона может быть, в дополнение к сказанному выше, еще следствием наличия перекрышей в окнах золотника. При наличии перекрышей золотник должен сместиться на некоторую величину, чтобы произошло открытие его окон, и лишь после этого рабочая жидкость поступает в сервомотор и начинается движение поршня сервомотора. Перекрыши в окнах золотника делаются для того, чтобы устранить протечки рабочей жидкости при среднем положении золотника, которые, накапливаясь, могут вызвать смещение сервомотора и, следовательно, ненужную перестановку регулирующего клапана.

В электромеханических системах между контактами управляющего реле (электрозолотника) обычно имеются зазоры; золотник должен пройти некоторое расстояние, прежде чем замкнется контакт и включится исполнительный двигатель. Наличие зазоров между контактами электрозолотника также приводит к появлению мертвой зоны на характеристике исполнительного двигателя.

При кусочно-линейной аппроксимации нелинейная характеристика с мертвой зоной (рис. 8.1, в) может быть описана уравнениями:

Для большинства усилительных и исполнительных элементов автоматики характерна нелинейность типа насыщения, или ограничения мощности (рис. 8.1, г).

У гидравлических сервомоторов с золотниковым управлением эта нелинейность имеет место, если ход золотника больше длины его окон: после того как окна полностью откроются, перемещение золотника уже не меняет количества жидкости, поступающей в единицу времени под поршень сервомотора, и скорость сервомотора остается постоянной Если сервомеханизм представляет собой гидравлический сервомотор, управляемый струйной трубкой, то уже при малом ее ходе происходит полное открытие одного из приемных сопел и закрытие другого, так что дальнейшее перемещение трубки не меняет открытия сопел и, следовательно, не меняет скорости сервомотора. Нелинейность типа насыщения характерна также для электронных, магнитных и других усилителей, мощность которых всегда ограничена. При кусочно-линейной аппроксимации (рис. 8.1, д) характеристика с насыщением описывается уравнениями:

Для электромеханических элементов автоматики типичны релейные характеристики. Релейной характеристикой называется характеристика представляющая собой такую зависимость между входной и выходной координатами, при которой непрерывному изменению соответствует скачкообразное изменение происходящее при определенных значениях а между этими значениями координата остается постоянной.

Симметричная релейная характеристика с мертвой зоной (рис. 8.1, е), описывающая работу трехпозиционного реле, соответствует уравнениям:

Пренебрегая мертвой зоной, если она мала, получим идеальную релейную характеристику (рис. 8.1, ж), описываемую уравнениями:

Релейную характеристику с зоной неоднозначности (рис. 8.1, з) имеет двухпозиционное реле.

Часто встречаются комбинации указанных выше нелинейностей. Например, для гидравлического поршневого сервомотора типична характеристика с мертвой зоной и насыщением (рис. 8.1, и), для трехпозиционного электромагнитного реле — релейная характеристика с мертвой зоной и зонами неоднозначности (рис. 8.1, к).

Кроме указанных, устройства автоматики могут иметь самые разнообразные нелинейные характеристики.