§ 4.2 ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИВОЙ ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ

Решение линейных дифференциальных уравнений может быть упрощено при использовании методов, в основу которых положено преобразование функций вещественной переменной в функции комплексной переменной. При этом преобразовываются не только различные функции воздействий, являющиеся функциями времени, но и математические действия (например дифференцирование и интегрирование). Методы функционального преобразования позволяют интегро-дифференциальные уравнения заменять алгебраическими уравнениями, решение которых значительно проще.

Практическое применение нашли методы преобразования Лапласа, Карсона — Хевисайда и Фурье. Последние два метода могут рассматриваться как частные случаи преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа.

Это преобразование является функциональным и служит для преобразования определенного класса функций вещественной переменной в функции комплексной переменной.

Критерием для преобразуемости функции времени служит ее определенность, непрерывность и однозначность для всей области , где — действительная переменная, и выполнение неравенства

где — функция, подлежащая преобразованию; о — некоторое положительное число.

Если указанные выше условия выполняются, то говорят, что функция преобразуема по Лапласу.

Переход от функции вещественной переменной к функции комплексной переменной называется прямым преобразованием Лапласа (-пресбразованием).

Прямое преобразование Лапласа описывается уравнением

где — комплексная переменная, действительная часть которой больше величины а, фигурирующей в формуле (4.8):

Обычно пределы интегрирования определяются границами процесса регулирования, которые могут быть установлены практически либо теоретически. Нижний предел соответствует значению интеграла при т. е. сразу после

В выражении (4.9) функция называется оригиналом, функция полученная в результате преобразования, — изображением. Обратный переход от изображения к оригиналу может быть осуществлен путем решения интегрального уравнения, так называемого

обратного преобразования Лапласа:

где — вещественные переменные.

Выражение (4.10) обычно при аналитическом определении по изображению не используется, применяемые для этой цели способы будут указаны далее.

Интегральные уравнения (4.9) и (4.10) принято записывать сокращенно в виде

Выражение (4.9) позволяет выразить функции времени в форме изображений. В табл. 4.1 приведены изображения для наиболее часто

Таблица 4.1 (см. скан) Таблица преобразований Лапласа и Карсона—Хевисайда

применяемых в теории регулирования функций времени. Более полные таблицы имеются в [18, 49].

Преобразование Карсона — Хевисайда основано на использовании следующих интегральных уравнений:

Сравнение выражений (4.9), (4.10) и (4.12), (4.13) указывает на тесную связь, существующую между этими функциональными преобразованиями. Переход от преобразования Лапласа к преобразованию Карсона — Хевисайда возможен при дополнительном умножении на величину

Операторный (символический) метод Хевисайда был разработан для упрощения решений интегро-дифференциальных уравнений и предложен автором без каких-либо доказательств и обоснований. Однако этот метод нашел широкое практическое применение, как в области электротехники, радиотехники, так и в регулировании. Позднее было показано, что этот метод имеет органическую связь с преобразованием Лапласа и может быть теоретически обоснован.

Удобство преобразования Карсона — Хевисайда заключается в том, что изображение постоянной величины Л, согласно (4.12), равно самой постоянной величине. Это обстоятельство приводит к тому, что при решении практических задач оригинал и его изображение имеют одинаковую размерность. Кроме того, во многих случаях преобразование Карсона — Хевисайда сливается с операторной записью дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях.

Использование преобразования Лапласа при решении интегро-дифференциальных уравнений, описывающих динамику САУ, невозможно без знания его основных свойств.

Теоремы приводятся без доказательств

Теорема 1. О преобразовании суммы функций.

Если функции преобразуемы по Лапласу, имеют своими изображениями соответственно и а представляет собой постоянную или переменную величину, не зависящую от или то имеют место равенства:

Эта теорема выражает свойство линейности преобразований Лапласа.

Теорема 2. Дифференцирование в области вещественной переменной.

Если функция и ее производная преобразуемы по Лапласу и если имеет своим изображением то

Формулировка теоремы 2 предусматривает возможность скачка функции в начале отсчета. Слагаемое представляет собой значение функции, принимаемое в начале отсчета при приближении со стороны положительных значений независимой переменной (справа).

Теорему о дифференцировании в области вещественной переменной можно распространить на производные высших порядков. При этом можно записать:

где

При нулевых начальных значениях выражения (4.18) упрощаются:

т. е. операция дифференцирования оригинала заменяется для изображения умножением на комплексную величину

Учитывая соотношение (4.14), можно получить выражения для преобразования Карсона — Хевисайда, аналогичные выражениям (4.18):

При нулевых начальных значениях

Теорема 3. Интегрирование в области вещественной переменной. Если функция преобразуема по Лапласу и имеет своим изображением то ее интеграл

также преобразуем по Лапласу, и имеет место равенство

где

При нулевых начальных значениях

т. e. интегрирование по времени оригинала соответствует делению изображения на комплексную величину

Теорема 4. О конечном значении оригинала.

Для преобразования Лапласа

Для преобразования Карсона — Хевисайда

Эта теорема используется для определения установившегося значения по при этом нет необходимости полностью выполнять обратное преобразование Лапласа от

Следует иметь в виду, что эта теорема неприменима к определению временных функций, у которых имеет корни, располагающиеся на мнимой оси.

Теорема 5. О начальном значении оригинала.

Для преобразования Лапласа

Для преобразования Карсона — Хевисайда

Эта теорема используется для определения начального значения при при этом нет необходимости доводить до конца обратное преобразование Лапласа от

Теорема 6. Изменение масштаба.

Если функция преобразуема по Лапласу, имеет своим изображением функцию и а представляет собой положительную постоянную или некоторую положительную переменную, не зависящую от или то

Теорема 7. Смещение в вещественной области (теорема запаздывания)

Если функция преобразуема по Лапласу, имеет изображение и а представляет собой неотрицательное вещественное число, то

при

Из этой теоремы следует, что смещение по оси времени в вещественной области соответствует в комплексной области умножению на экспоненциальную функцию.

Теорема 8. Умножение в комплексной области.

Если функции преобразуемы по Лапласу и имеют своими изображениями соответственно функции то

где — переменная интегрирования.

Действие, выражаемое интегралом в левой части равенства (4.30), называется свертыванием в вещественной области (интеграл свертки), а относительно функций говорят, что они свертываются. Из этой теоремы следует, что свертывание в вещественной области соответствует умножению в комплексной области.

Теорема 8 еще раз иллюстрирует целесообразность применения метода Лапласа. Используя прямое преобразование Лапласа, можно от сложной операции (свертывания) в вещественной области перейти к более простой (операции умножения) в комплексной области.

Эта теорема является также практически важной в случае отыскания оригинала решения, если известно изображение. Действительно, если изображение представляет собой произведение

где — изображение функции времени подаваемой на вход системы; — передаточная функция некоторой системы, то представляет собой изображение выходной величины.

Если известна реакция системы на -функцию, то связь передаточной функции системы с функцией веса устанавливается выражением

В этом случае можно воспользоваться теоремой 8 и по интегралу свертки определить функцию времени на выходе системы

Если для то граница верхнего предела интеграла (4.32) может быть расширена до бесконечности и формула

приобретает вид