§ 11.2. СИНТЕЗ СИСТЕМ, ОПТИМАЛЬНЫХ ПО КРИТЕРИЮ МИНИМУМА СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЙ ОШИБКИ

При проектировании одноконтурных систем за критерий оптимальности можно принять величину с.к.о. (см. гл. 9). Как показал Винер [51], в этом случае из условия оптимальности можно найти выражение для весовой функции замкнутой системы

Предположим, что на вход одноконтурной системы поступает задающий сигнал с наложенной на него помехой так что входной сигнал

(рис. 11.1). Будем считать, что сигналы представляют собой центрированные случайные стационарные функции времени с известными корреляционными и взаимно корреляционными функциями. Рассмотрим случай, когда система должна осуществлять линейное преобразование сигнала в требуемый сигнал на выходе . В результате действия помехи выходной сигнал содержит случайную ошибку

Рис. 11.1. Структурная схема САУ к задаче минимизации среднеквадратичной ошибки

Требуется найти весовую функцию системы удовлетворяющую условию физической осуществимости при и обеспечивающую минимум среднего квадрата ошибки в установившемся режиме. Согласно формуле (11.7) ошибка Среднее значение квадрата ошибки

Учитывая, что

и при запишем выражение для ошибки системы:

Пределы интегрирования, равные подчеркивают, что система функционирует на бесконечно большом отрезке времени, и в ней наступил установившийся режим.

Возведя в квадрат правую и левую части выражения (11.9), получим

Найдем математические ожидания левой и правой частей уравнения (11.10), считая, что функции являются центрированными сищиопарными случайными функциями и учитывая, что

Выражение для среднего квадрата ошибки с учетом соотношений (11.11) примет вид

Уравнение (1 1.12) показывает, что средний квадрат ошибки зависит только от корреляционных функций искомая функция веса при рассматриваемых условиях также зависит только от указанных корреляционных функций. Это означает, что если имеются две совокупности функций с корреляционными функциями дающая минимум среднего квадрата ошибки I для каких-либо двух функций из этих совокупностей, то функция обеспечивает минимум величины для любых двух функций, входящих в рассматриваемые совокупности.

Пример 11.1. Пусть входной сигнал имеет корреляционную функцию

а корреляционная функция помехи

Рассмотрим задачу идеального дифференцирования функции когда Предположив, что помеха и входной сигнал некоррелированы южду собой, будем иметь

Так как

то

Введя обозначение получим

Отсюда следует, что в рассматриваемом примере соотношения (11.11) принимают следующий вид:

Найдем необходимые и достаточные условия минимума функционала (11.12), т. е. условия для определения оптимальной функции веса.

Предположим, что решение поставленной задачи существует. Обозначим через оптимальную функцию веса системы. Введем функцию

где — параметр; — произвольная функция [в вариационном исчислении функцию называют вариацией функции ].

Параметром 7 можно варьировать, чтобы проверить, будет ли функция обеспечивать минимальные значения критерия (11.12).

При подстановке формулы (11.15) в правую часть выражения (11.12) средний квадрат ошибки становится функцией параметра Если является искомым решением, то при средний квадрат ошибки будет минимален, т. е. будет равна нулю производная функции по параметру у. Приравнивая эту производную нулю при получим необходимое условие, которому должна удовлетворять искомая функция веса

Нетрудно показать, что это условие является и достаточным для того, чтобы с.к.о. системы имела минимальное значение.

С учетом условия физической осуществимости уравнение (11.16) принимает следующий вид:

Это уравнение представляет собой линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода (интегральным называется всякое уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла). Правая часть уравнения является сверткой корреляционной функции входного сигнала с весовой функцией системы Физически это означает, что минимальной с.к.о. обладает линейная система, преобразующая входной сигнал в выходной сигнал (рис. 11.2).

Решение интегрального уравнения (11.17) можно производить во временной и частотной областях.

Рассмотрим один из приближенных методов решения интегрального уравнения путем замены его системой линейных алгебраических уравнений. Пусть интервал, на котором практически затухает функция веса, равен [0, Т].

Рис. 11.2. Структурная схема, поясняющая физический смысл оптимальной функции веса

Рис. 11.3. Кусочно-постоянпая функция веса

Разобьем промежуток времени на интервалов и будем искать весовую функцию в классе кусочно-постоянных функций (рис. 11.3).

Так как функция веса определена значениями параметров уравнению (11.17) можно удовлетворить только при значениях переменной При этом уравнение (11.17) заменяется системой алгебраических уравнений:

Если число интервалов достаточно велико и все интервалы достаточно малы, то система линейных алгебраических уравнений (11.18) позволяет определить значений весовой функции Ф, близкой к оптимальной функции

Пример 11.2. Подставив полученные в примере 11.1 соотношения (11.14) в уравнение (11.17), найдем

Выбрав достаточно малый интервал положив получим систему (11.18) в следующем виде:

Решение этой системы уравнений не представляет значительных трудностей. При большом его можно получить с использованием ЦВМ.

Если на входе системы действует сигнал являющийся «белым шумом», т. е. то решение интегрального уравнения (11.17) можно определить из условия

откуда

т. е. оптимальная функция веса в этом случае пропорциональна взаимно корреляционной функции входа и идеального выхода системы.

Условие (11.19) можно использовать и в случае произвольного входного сигнала если предварительно построить для него фильтр, обеспечивающий преобразование данного сигнала в «белый шум». Теоретическое обоснование такого подхода можно найти в книге

Для определения минимальной с.к.о. подставим соотношение (11.17) в выражение (11.12). При этом получим

Определив оптимальную функцию веса и подставив ее в выражение (11.20), найдем наименьшее числовое значение с.к.о., достижимое в классе линейных систем.

Зная функцию веса можно определить оптимальную передаточную функцию системы при помощи преобразования Фурье (см. § 4.2).