ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§ 5.1. ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Всякая система автоматического управления должна быть прежде всего работоспособной, т. е. должна нормально функционировать и быть нечувствительной к посторонним возмущениям различного рода (помехам, шумам и т. д.). Работоспособность системы выявляется на основании одной из основных динамических характеристик системы управления — ее устойчивости (или неустойчивости). Для выполнения любых практических задач управления система должна быть устойчивой. Устойчивость — свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после выхода из него в результате какого-либо воздействия. Неустойчивая работа может возникнуть во всякой САУ с обратной связью, в этом случае система не может выполнять задачи управления. Неустойчивая система не возвращается к состоянию равновесия, из которого она по тем или иным причинам вышла, а непрерывно удаляется от него или совершает около него недопустимо большие колебания.

Более точно понятие устойчивости может быть сформулировано следующим образом. Линейная система автоматического управления называется устойчивой, если ее функция веса остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных возмущениях. Физически возможная линейная САУ устойчива, если

где с — некоторая конечная величина.

Из определения следует, что об устойчивости системы можно судить по решению линеаризованного дифференциального уравнения замкнутой системы (3.57).

Решение уравнения (3.57) можно записать в виде

причем общее решение однородного дифференциального уравнения

определяет переходный процесс системы, т. е. переходную составляющую Установившаяся составляющая находится как частное решение неоднородного уравнения (3.57).

Система автоматического регулирования или управления называется устойчивой, если переходная составляющая с течением времени затухает, т. е.

Если с течением времени переходный процесс расходится, т. е.

то система называется неустойчивой.

Системы, в которых переходный процесс с течением времени не расходится и не затухает, называются находящимися на границе устойчивости.

Для нормальной работы любой линейной САУ необходимо выполнение условия устойчивости (5.4). Чтобы исследовать устойчивость САУ, оказывается, нет необходимости находить общее решение однородное дифференциального уравнения (5.3), так как оно зависит от вида корней характеристического уравнения САУ.

Обозначим через корни характеристического уравнения

Предположим, что все корни простые (это допущение не влияет на общность полученных результатов). Тогда переходный процесс

где — произвольные постоянные. Следовательно,

Корни характеристического уравнения могут быть либо вещественными, либо комплексными сопряженными. Для вещественных корней для комплексно-сопряженных корней — вещественная часть корней, — мнимая часть корней). Вещественные корни будем считать частным случаем комплексных (при

Из (5.8) и (5.9) следует необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем. Для того чтобы линейная САУ была

устойчива необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения САУ (5.6) были отрицательны, т. е.

Иными словами, все корни характеристического уравнения САУ должны располагаться в левой полуплоскости на плоскости корней (рис. 5.1, а).

Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных корней находятся на мнимой оси а все остальные корни расположены в левой полуплоскости, САУ находится на границе устойчивости. Различают апериодическую и колебательную границы устойчивости.

Рис. 5.1. Расположение корней характеристического уравнения САУ: а — устойчивая система; б — неустойчивая система

Рис. 5.2. Расположение корней характеристического уравнения САУ, находящейся на границе устойчивости: а — апериодической; б — колебательной

Система находится на апериодической границе устойчивости, если в характеристическом уравнении (5.6) имеется хотя бы один нулевой корень. На плоскости корней он располагается в начале координат (рис. 5.2, а). Один нулевой корень может появиться в уравнении (5.6) лишь при равенстве нулю свободного члена При этом однородное уравнение системы (5.3) может быть представлено в виде

Таким образом, система оказывается устойчивой не относительно регулируемой величины а относительно скорости ее изменения Сама же регулируемая величина может принимать произвольные значения. Система к ней безразлична (нейтральна), поэтому такие системы часто называются нейтрально устойчивыми.

Система находится на колебательной границе устойчивости, если в характеристическом уравнении (5.6) имеется хотя бы одна пара чисто мнимых корней (рис. 5.2, б). В системе при этом устанавливаются незатухающие гармонические колебания.

Рассмотренные условия устойчивости относятся к линейным САУ, т. е. к системам, описываемым линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Прямой путь определения устойчивости системы состоит в отыскании корней характеристического уравнения. Однако этот путь оказывается весьма трудоемким, особенно, если степень характеристического уравнения Поэтому очень важно знать признаки, по которым можно судить об устойчивости САУ без непосредственного определения корней соответствующего характеристического уравнения. Эти признаки называются критериями устойчивости.

Простейшим необходимым (но недостаточным) критерием устойчивости является критерий, согласно которому необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения (5.6) были одного знака, например, положительными. Для доказательства представим характеристический полином в виде

В устойчивой системе все корни имеют отрицательные вещественные части. Пусть, например, Тогда

Из (5.12) следует, что характеристический полином устойчивой САУ может быть представлен в виде произведения многочленов первой и второй степени, имеющих только положительные коэффициенты. При перемножении этих многочленов получается многочлен (характеристический полином), имеющий также только положительные коэффициенты. Нетрудно видеть, что для систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядков, необходимый критерий устойчивости одновременно является и достаточным. Для исследования более сложных систем применяются другие критерии устойчивости. Впервые задача отыскания критериев устойчивости была поставлена Максвеллом в 1868 г.