§ 2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Временной характеристикой звена по какому-либо внешнему воздействию называется закон изменения выходной величины звена в функции времени при изменении внешнего воздействия по определенному закону и при условии, что до приложения внешнего воздействия звено находилось в покое.

Временные характеристики звена прежде всего зависят от внешнего воздействия, для которого они определяются. Можно рассматривать эти характеристики по входной величине по возмущению Обычно в линейных звеньях при определении временных характеристик по какому-либо внешнему воздействию все другие внешние воздействия полагаются равными нулю.

Здесь будут рассмотрены временные характеристики только по входной величине которые часто называются просто временными характеристиками звена.

Для конкретного внешнего воздействия (в нашем случае временные характеристики зависят от свойств звена и от принятого закона изменения внешнего воздействия. Чаще всего при получении временных характеристик считают, что внешнее воздействие изменяется по закону дельта-функции (1.55), либо по закону единичной ступенчатой функции (1.44). Временные характеристики звена при этих законах изменения внешних воздействий получили

Рис. 2.11. К определению переходной функции (а) и функции веса звена (б)

специальные названия функции веса и переходной функции звена.

Переходной функцией звена называется реакция звена на входной сигнал при условии, что до приложения входного воздействия звено находилось в покое (рис. 2.11, а).

Переходная функция может быть определена экспериментально или вычислена теоретически. Если работа звена описывается дифференциальным уравнением (2.74), то для теоретического определения переходной функции необходимо найти решение дифференциального уравнения

при нулевых начальных условиях

Воспользовавшись преобразованием Лапласа, получим, что изображение переходной функции

так как Отсюда следует, что

т. е. что переходная функция представляет собой обратное преобразование Лапласа от передаточной функции звена, деленной на

В общем случае передаточная функция звена определяется формулой (2.93) при Поэтому изображение

является правильной рациональной дробью относительно и для нахождения соответствующего ему оригинала можно воспользоваться теоремой разложения (см. § 4.2). При для получения функции целесообразно использовать математические машины непрерывного действия или цифровые вычислительные машины.

Результаты вычисления переходной функции обычно представляются в виде графика, построенного в координатах ). Конкретные очертания функции (монотонная, колебательная и др.) зависят от свойств звена и могут быть весьма разнообразными (см. § 2.9).

Начальное (при и конечное (при значения переходной функции в случае необходимости можно найти, не вычисляя саму функцию По теореме о начальном значении

Подставив сюда формулу (2.93), получим, что

Следовательно, в том случае, когда передаточная функция звена представляет собой правильную рациональную дробь, начальное значение переходной функции обязательно равно нулю.

По теореме о конечном значении

В том случае, когда у функции (2.93) коэффициент вычисления по этой формуле дают:

где — коэффициент передачи звена.

Так как здесь рассматриваются линейные звенья, то при неединичном скачке входной величины выходная величина звена будет изменяться по закону где

Функцией веса (или импульсной переходной функцией) звена называется его реакция на входной сигнал при условии, что до приложения входного воздействия звено находилось в покое

Функция веса может быть найдена теоретически или экспериментально. Для экспериментального определения функции веса осциллографируют процесс изменения выходной величины звена при входном воздействии в виде реального импульса произвольной формы с единичной площадью. Возникающая при этом методическая погрешность будет тем меньше, чем меньше длительность входного импульса по сравнению с временем затухания переходных процессов в исследуемом звене.

Для теоретического вычисления функции веса звена, работа которого описывается уравнением (2.74), необходимо решить дифференциальное уравнение

при нулевых начальных условиях

Преобразовав это уравнение по Лапласу, получим

так как Отсюда

Таким образом, функция веса звена представляет собой обратное преобразование Лапласа от передаточной функции звена. Если функция является правильной рациональной дробью, то практические расчеты при помощи формулы (2.117) могут быть выполнены по теореме разложения. При вычисления целесообразно производить на вычислительных машинах (особенно в том случае, когда требуется найти семейство функций веса для серии значений одного или нескольких варьируемых параметров звена).

Начальное и конечное значения функции веса могут быть определены по следующим формулам:

Для передаточной функции (2.93) расчет по этим формулам дает:

В последнем соотношении принято, что у функции коэффициент .

Функция веса обычно строится графически в координатах Характер графика может быть самым разнообразным и зависит от свойств звена (см. § 2.9).

В том случае, когда на вход линейного звена поступает неединичная дельта-функция где реакция звена на этот сигнал может быть подсчитана по формуле

Найдем связь между переходной функцией и функцией веса звена. По теореме об изображении производной

откуда

Переход от изображений к оригиналам дает искомую зависимость

Если передаточная функция звена является правильной рациональной дробью, то и выражение (2.118) принимает более простой вид:

Вследствие наличия однозначной связи между функциями в конкретных расчетах обычно используется только одна из этих характеристик. В большинстве случаев предпочтение отдается переходной функции звена, так как ее экспериментальное определение проще, нежели функции веса.

Переходная функция и функция иеса не менее полно характеризуют динамические свойства звена, чем дифференциальное уравнение и передаточные функции. В частности, располагая функциями и можно найти реакцию звена на входной сигнал изменяющийся по любому закону, при помощи соотношений, называемых интегралами Дюамеля:

К преимуществам временных характеристик перед передаточными функциями и дифференциальными уравнениями можно отнести возможность их экспериментального определения и значительно большую наглядность. Основным недостатком является сложность соотношений, выражающих переходную функцию и функцию веса последовательного и встречно-параллельного соединения звеньев через временные характеристики звеньев, входящих в соединение. Кроме того, теоретическое вычисление временных характеристик для звеньев, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка, достаточно трудоемко.