ГЛАВА 9. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

§ 9.1. СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Ранее поведение САУ исследовалось при определенных, заданных по времени задающих и возмущающих воздействиях. Однако во многих практически важных случаях воздействия являются случайными величинами или функциями.

Случайной называется любая величина, принимающая в результате опыта одно из множества возможных значений, точную величину которых в каждом конкретном случае невозможно предсказать. Случайной функцией называется функция, значения которой при каждом фиксированном значении аргумента представляют собой случайные величины.

В результате опыта случайная функция (величина) может принимать одну из возможных форм (числовых значений), называемых ее реализациями. Простейшие случайные функции, встречающиеся в практике исследования САУ, зависят от одного аргумента — времени — и называются случайными, или стохастическими случайными, процессами.

Для исследования точности САУ необходимо иметь информацию о случайных возмущениях.

Простейшими случайными воздействиями являются:

а) случайная величина где с — некоторая постоянная, V — случайная величина (рис. 9.1, а);

б) элементарная случайная функция где V — случайная величина,

Детерминированная функция времени (называемая координатной функцией) (рис. 9.1, б, в);

в) сумма элементарных случайных функций

Рис. 9.1. Реализации элементарных случайных функций

Непрерывная случайная величина V может принимать все значения в каком-либо заданном интервале Исчерпывающими характеристиками таких величин являются законы распределения [функция распределения и плотность распределения вероятностей]. Функция распределения определяет вероятность Р того, что случайная величина примет значение Функцию называют плотностью распределения вероятностей случайной величины V, или ее дифференциальным законом распределения.

Знание закона распределения плотности вероятностей случайной величины позволяет вычислить ряд ее числовых характеристик, часто используемых в исследованиях. К ним относятся:

а) вероятность того, что случайная величина примет значение, лежащее в интервале (V.,

б) начальные моменты порядка:

в) центральные моменты

Первый начальный момент

определяет среднее значение (математическое ожидание), вокруг которого группируются возможные реализации случайной величины Если математическое значение случайной величины равно нулю, то она является центрированной и обозначается через V. Поэтому первый центральный момент равен нулю.

Второй центральный момент

определяется через второй и первый начальные моменты и называется дисперсией случайной величины. Дисперсия случайной величины V

обозначается через и представляет собой меру рассеивания реализаций случайной величины относительно ее математического ожидания . Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. В качестве характеристики рассеивания удобнее пользоваться реличиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной реличины. Поэтому обычно вводят среднеквадратичное отклонение (с.к.о.) случайной величины

Если случайная величина подчинена нормальному распределению с плотностью вероятности

то параметр характеризует форму кривой распределения. Принято считать, что все реализации случайной величины при этом практически укладываются на участке с одной и другой стороны от центра рассеивания (математического ожидания). Поэтому можно приближенно считать равным 1/3 максимального отклонения случайной величины от ее среднего значения. Рассмотренные числовые характеристики случайных величин с нормальным законом распределения позволяют решать многие практические задачи.

Для системы случайных величин кроме математических ожиданий М [V] и дисперсий вводят в рассмотрение характеристику взаимосвязи этих величин — момент ковариации

или корреляционный момент

Последний характеризует взаимосвязь двух нормированных случайных величин Числовое значение корреляционного момента случайных величин находится в диапазоне Если случайные величины независимы, то При наличии функциональной связи между случайными величинами и V, корреляционный момент Если для системы случайных величин корреляционный момент при изменении индексов и от 1 до то говорят, что случайные величины этой системы являются некоррелированными.

Аналогично рассматривают характеристики случайных функций. В отличие от числовых характеристик случайных величин характеристики случайных функций представляют собой в общем случае функции времени или каких-либо других переменных.

Математическим ожиданием случайной функции называется неслучайная функция которая при каждом значении аргумента

равна математическому ожиданию соответствующего значения случайной функции:

Математическое ожидание есть функция, вблизи которой группируются конкретные реализации случайной функции На рис. 9.2 и 9.3 сплошными линиями показаны реализации случайных функций штриховыми — их математические ожидания.

Рис. 9. 2. Реализации случайной функции

Рис. 9.3. Реализации случайной функции

Дисперсией случайной функции называется неслучайная функция значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего значения случайной функции:

где — центрированное значение случайной функции .

С.к.о. случайной функции

Рассмотренные характеристики недостаточно полно описывают случайные функции. Так, для случайных функций реализации которых изображены на рис. 9.2 и 9.3, математические ожидания и дисперсии примерно одинаковы, однако характер этих функций различен. Для реализаций случайной функции характерно плавное изменение (см. рис. 9.2). Если, например, в точке случайная функция приняла значение, заметно превышающее ее математическое ожидание, то и в точке она также примет значение, большее среднего, т. е. для этой случайной функции характерна ярко выраженная зависимость между ее значениями при различных значениях аргумента

В противоположность функции реализации случайной функции (рис. 9.3) имеют резко колебательный характер, т. е. для нее характерно резкое затухание взаимосвязи между отдельными значениями по мере увеличения расстояния по времени между ними.

Чтобы охарактеризовать степень зависимости между значениями случайной функции, относящимися к различным моментам времени, вводят корреляционную функцию Она является неслучайной функцией двух аргументов и (2 и определяется как математическое ожидание произведения центрированных значений функции в моменты времени

Если , то

В качестве основных характеристик случайной функции обычно рассматривают ее математическое ожидание и корреляционную функцию [необходимость в дисперсии, как отдельной характеристике случайной функции, отпадает в связи с соотношением (9.2)]. Эти характеристики используют для исследования линейных и нелинейных систем в рамках так называемой корреляционной теории.

Различают стационарные и нестационарные случайные функции. Для нестационарных случайных функций характерна зависимость ее вероятностных характеристик от времени. Это означает, что математическое ожидание и дисперсия нестационарной случайной функции меняются во времени, а корреляционная функция определяется выражением (9.1) и зависит от

Стационарной называется такая случайная функция, для которой все вероятностные характеристики не зависят от аргумента, а определяются только сдвигом аргумента. Применительно к корреляционной функции это определение означает, что для стационарной случайной функции

где Из записанного условия стационарности случайной функции следует, что дисперсия ее является величиной постоянной, так как

Математическое ожидание стационарной случайной функции принято считать постоянным (в частности, равным нулю). Рассматривая только центрированные значения случайной функции можно не накладывать специальных условий на ее математическое ожидание.

Приводимой к стационарной, по В. С. Пугачеву [45], называют нестационарную функцию, для которой частное является стационарной случайной функцией.

Отметим некоторые свойства случайных функций.

1. Корреляционная функция является симметричной функцией своих аргументов

Для стационарной случайной функции это свойство является свойством четности:

2. Математическое ожидание произведения случайной функции на неслучайную функцию равно произведению неслучайной функции на математическое ожидание случайной функции

3. Корреляционная функция произведения случайной функции на неслучайную функцию равна произведению корреляционной функции на

4. Математическое ожидание случайной функции, полученной в результате линейного преобразования (интегрирования, дифференцирования и т. д.) случайной функции определяется данным нейным преобразованием математического ожидания функции например,

5. Для определения корреляционной функции случайной функции, полученной в результате линейного преобразования заданной случайной функции необходимо поочередно применить заданное линейное преобразование к корреляционной функции по аргументам например,

При рассмотрении двух и более случайных функций помимо рассмотренных статистических характеристик вводят понятия взаимной корреляционной и ковариационной функций, определяемых следующими выражениями:

Равенство нулю функций и означает отсутствие связи между случайными функциями

В качестве характеристики стационарных случайных функций часто применяют спектральную плотность представляющую

собой прямое преобразование Фурье (см. § 4.2) корреляционной функции:

С учетом свойства (9.4) выражение (9.5) можно записать в виде

Из выражений (9.5) и (9.6) следует, что спектральная плотность полностью определяется корреляционной функцией. Например, если

то

По заданной спектральной плотности можно найти корреляционную функцию при помощи обратного преобразования Фурье

Из соотношения (9.9) при вытекает важная формула для определения дисперсии стационарной случайной функции по заданной спектральной плотности

Случайную функцию можно представить в виде суммы элементарных случайных функций:

где — координатные функции; — некоррелированные случайные величины с нормальным законом распределения.

Такое представление называется каноническим разложением случайной функции. Статистические характеристики случайных величин и координатные функции (0 находят так, чтобы корреляционные функции случайной функции и ее канонического разложения совпадали:

В практике исследования стационарных или приводимых к стационарным случайных функций часто используется спектральное каноническое разложение:

или

где — случайные величины с заданными законами распределения; — заданные числа.

Для стационарных случайных процессов используется и неканоническое разложение

где — некоррелированные между собой и с величиной со центрированные случайные величины с нормальным законом распределения [67], удовлетворяющие условию Закон распределения случайной величины определяется из условия равенства корреляционных функций случайного процесса и его представления (9.12). Корреляционная функция неканонического представления

Равенство служит основой для определения закона распределения случайной величины .