Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА 9. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ§ 9.1. СЛУЧАЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИРанее поведение САУ исследовалось при определенных, заданных по времени задающих и возмущающих воздействиях. Однако во многих практически важных случаях воздействия являются случайными величинами или функциями. Случайной называется любая величина, принимающая в результате опыта одно из множества возможных значений, точную величину которых в каждом конкретном случае невозможно предсказать. Случайной функцией называется функция, значения которой при каждом фиксированном значении аргумента представляют собой случайные величины. В результате опыта случайная функция (величина) может принимать одну из возможных форм (числовых значений), называемых ее реализациями. Простейшие случайные функции, встречающиеся в практике исследования САУ, зависят от одного аргумента — времени — и называются случайными, или стохастическими случайными, процессами. Для исследования точности САУ необходимо иметь информацию о случайных возмущениях. Простейшими случайными воздействиями являются: а) случайная величина б) элементарная случайная функция Детерминированная функция времени (называемая координатной функцией) (рис. 9.1, б, в); в) сумма элементарных случайных функций
Рис. 9.1. Реализации элементарных случайных функций
Непрерывная случайная величина V может принимать все значения в каком-либо заданном интервале Знание закона распределения плотности вероятностей а) вероятность того, что случайная величина примет значение, лежащее в интервале (V.,
б) начальные моменты
в) центральные моменты
Первый начальный момент
определяет среднее значение (математическое ожидание), вокруг которого группируются возможные реализации случайной величины Если математическое значение случайной величины равно нулю, то она является центрированной и обозначается через V. Поэтому первый центральный момент равен нулю. Второй центральный момент
определяется через второй и первый начальные моменты и называется дисперсией случайной величины. Дисперсия случайной величины V обозначается через
Если случайная величина подчинена нормальному распределению с плотностью вероятности
то параметр Для системы случайных величин
или корреляционный момент
Последний характеризует взаимосвязь двух нормированных случайных величин Аналогично рассматривают характеристики случайных функций. В отличие от числовых характеристик случайных величин характеристики случайных функций представляют собой в общем случае функции времени или каких-либо других переменных. Математическим ожиданием случайной функции
Математическое ожидание есть функция, вблизи которой группируются конкретные реализации случайной функции
Рис. 9. 2. Реализации случайной функции
Рис. 9.3. Реализации случайной функции Дисперсией случайной функции
где С.к.о. случайной функции
Рассмотренные характеристики недостаточно полно описывают случайные функции. Так, для случайных функций В противоположность функции Чтобы охарактеризовать степень зависимости между значениями случайной функции, относящимися к различным моментам времени, вводят корреляционную функцию
Если
В качестве основных характеристик случайной функции обычно рассматривают ее математическое ожидание и корреляционную функцию [необходимость в дисперсии, как отдельной характеристике случайной функции, отпадает в связи с соотношением (9.2)]. Эти характеристики используют для исследования линейных и нелинейных систем в рамках так называемой корреляционной теории. Различают стационарные и нестационарные случайные функции. Для нестационарных случайных функций характерна зависимость ее вероятностных характеристик от времени. Это означает, что математическое ожидание и дисперсия нестационарной случайной функции меняются во времени, а корреляционная функция определяется выражением (9.1) и зависит от Стационарной называется такая случайная функция, для которой все вероятностные характеристики не зависят от аргумента, а определяются только сдвигом аргумента. Применительно к корреляционной функции это определение означает, что для стационарной случайной функции
где
Математическое ожидание стационарной случайной функции принято считать постоянным (в частности, равным нулю). Рассматривая только центрированные значения случайной функции Приводимой к стационарной, по В. С. Пугачеву [45], называют нестационарную функцию, для которой частное Отметим некоторые свойства случайных функций. 1. Корреляционная функция является симметричной функцией своих аргументов
Для стационарной случайной функции это свойство является свойством четности:
2. Математическое ожидание произведения случайной функции
3. Корреляционная функция произведения случайной функции 4. Математическое ожидание случайной функции, полученной в результате линейного преобразования (интегрирования, дифференцирования и т. д.) случайной функции
5. Для определения корреляционной функции случайной функции, полученной в результате линейного преобразования заданной случайной функции
При рассмотрении двух и более случайных функций помимо рассмотренных статистических характеристик вводят понятия взаимной корреляционной и ковариационной функций, определяемых следующими выражениями:
Равенство нулю функций В качестве характеристики стационарных случайных функций часто применяют спектральную плотность собой прямое преобразование Фурье (см. § 4.2) корреляционной функции:
С учетом свойства (9.4) выражение (9.5) можно записать в виде
Из выражений (9.5) и (9.6) следует, что спектральная плотность полностью определяется корреляционной функцией. Например, если
то
По заданной спектральной плотности можно найти корреляционную функцию при помощи обратного преобразования Фурье
Из соотношения (9.9) при
Случайную функцию
где — координатные функции; Такое представление называется каноническим разложением случайной функции. Статистические характеристики случайных величин
В практике исследования стационарных или приводимых к стационарным случайных функций часто используется спектральное каноническое разложение:
или
где Для стационарных случайных процессов используется и неканоническое разложение
где
Равенство
|
1 |
Оглавление
|