Позиционные звенья

Позиционные звенья (см. табл. 2.1, п. 1-5). Позиционными звеньями называются такие звенья, для которых в установившемся режиме характерна линейная зависимость между входной и выходной величинами. Эти звенья описываются линейным дифференциальным уравнением вида

где — многочлен не выше второго порядка — коэффициент передачи звена.

При постоянном входном сигнале выходная величина устойчивых позиционных звеньев с течением времени также стремится к постоянному значению.

Безынерционное (идеальное) звено (см. табл. 2.1, п. 1). Безынерционным называется звено, которое как в

установившемся, так и в переходном режимах описывается уравнением вида

В действительности безынерционных звеньев нет. Обычно в САР идеальными считают звенья, инерционность которых значительно

Таблица 2.2 (см. скан) Временные характеристики типовых звеньев

Продолжение табл. 2.2 (см. скан)

меньше инерционности других звеньев. Чаще всего это различные датчики или предварительные усилители.

Примером безынерционного звена может служить потенциометрический датчик, преобразующий механическое перемещение ползунка в электрическую величину пропорциональную этому перемещению (табл. 2.2, п. 1).

Передаточная функция звена

Переходная функция и функция веса соответствуют выражениям

Таблица 2.3 (см. скан) Частотные характеристики типовых звеньев

Продолжение табл. 2.3 (см. скан)

Частотные характеристики могут быть представлены следующим образом:

Временные и частотные характеристики безынерционного звена (и всех последующих звеньев) представлены в табл. 2.2 и 2.3.

Апериодическое звено порядка (см. табл. 2.1, п. 2). Апериодическим звеном порядка называется любое устройство, описываемое дифференциальным уравнением вида

где Т — постоянная времени. Примером такого звена может служить цепочка типа где резистор, С — емкость (см. табл. 2.2, п.2).

Рис. 2.30. Эквивалентная схема цепочки RC

Эквивалентная схема цепочки RC представлена на рис. 2.30. Ее передаточная функция

Поставив в это выражение операторные эквиваленты, получим

или

где

Имея выражение для передаточной функции (2.164), определим переходную характеристику с помощью обратного преобразования Лапласа:

Очевидно, что

поэтому

Теоретически такой переходный процесс длится бесконечно долго. Практически для этого звена под временем переходного процесса понимается наименьший промежуток времени (рис. 2.31), по истечении которого выполняется неравенство

где — наперед заданное положительное число [обычно .

Рис. 2.31. Переходная функция апериодического зеена

Дифференцированием выражения (2.165) определим функцию веса апериодического звена порядка:

Из частотной передаточной функции

получим

Используя два последних выражения, найдем амплитудно-фазовую характеристику в виде явного уравнения

Из этой характеристики (см. табл. 2.3, п. 2) видно, что звено тем хуже пропускает синусоидальные колебания, чем выше их частота. Амплитуда выходного сигнала при возрастании частоты входного сигнала уменьшается, а фазовый сдвиг — увеличивается.

Л.а.х. апериодического звена

При

а при

Характеристики называются низкочастотной и высокочастотной асимптотами л.а.х. Заметим, что при со значение Частота, на которой эти характеристики сопрягаются, называется сопрягающей частотой. Ломаная линия с уравнением

называется асимптотической л.а.х. апериодического звена порядка. Если построить реальную л.а.х. по точкам, то можно убедиться в том, что максимальное отличие реальной л.а.х. от асимптотической имеет место на сопрягающей частоте. Однако это отличие невелико (меньше 3 дб), поэтому практически можно считать, что реальная и асимптотическая л.а.х. совпадают, и ограничиваться построением только последней характеристики.

Фазовая логарифмическая характеристика

строится по точкам. При этом удобно пользоваться таблицами тангенса или специальными шаблонами.

Апериодическое звено порядка (см. табл. 2.1, п.З). Устройство любой физической природы, поведение которого описывается дифференциальным уравнением вида

где — коэффициент относительного демпфирования — постоянная времени, называется апериодическим звеном порядка.

Передаточная функция этого звена

Разложим знаменатель этой функции на два сомножителя:

где — корни характеристического уравнения

Следовательно, апериодическое звено порядка при эквивалентно последовательному соединению двух апериодических звеньев порядка.

Примером апериодического звена порядка может служить электрический двигатель с независимым возбуждением, управляемый по цепи якоря. Входной величиной для него является напряжение и, подключенное на якорную обмотку, а выходной — угловая скорость вращения якоря Входной величиной этого звена может быть также момент нагрузки на валу якоря М (см. табл.

Уравнение движения якоря двигателя имеет вид

где — момент инерции всех вращающихся частей, приведенный к валу двигателя; — вращающий момент двигателя, зависящий от тока протекающего по обмотке якоря:

Здесь — конструктивная постоянная.

В свою очередь ток и напряжение и связаны между собой уравнением

где и — индуктивность и активное сопротивление якорной цепи; — конструктивная постоянная.

Используя приведенные соотношения, получим дифференциальное уравнение движения рассматриваемого звена

Если считать, что то это уравнение можно записать следующим образом:

где — электромагнитная постоянная времени якорной цепи; — электромеханическая постоянная времени двигателя; — коэффициент передачи двигателя.

Используя выражение (2.177), определим переходную функцию данного звена:

Рассмотрим вначале случай, когда Дробь, приведенную в скобках выражения (2.178), можно представить так:

Выполнив обратное преобразование Лапласа, получим

При

Функции веса при (т. е. при соответствует выражение

а при (т. е, при — выражение

Подставив в (2.176) и (2.177), получим два выражения для частотной передаточной функции этого звена:

Используя их, найдем

Фазовая частотная характеристика апериодического звена порядка в зависимости от может быть выражена следующим образом:

Для построения асимптотической л.а.х. звена (см. табл. 2.3, п.З) следует вычислить сопрягающие частоты и величину После этого необходимо провести вертикальные прямые через сопрягающие частоты и построить низкочастотную асимптоту л.а.х. - прямую с наклоном отстоящую от оси частот на расстоянии Затем на первой сопрягающей частоте ее нужно «сломать» на а на второй — еще на Таким образом, результирующая л. а. х. звена

где — логарифмические амплитудные характеристики двух последовательно соединенных звеньев [см. (2.186)].

Логарифмическая фазовая характеристика отличается от фазовой частотной характеристики только логарифмической шкалой оси частот.

Колебательное звено (см. табл. 2.1, п. 4). Звено любой физической природы, описываемое дифференциальным уравнением вида

при называется колебательным звеном.

В качестве примера колебательного звена можно привести трехстепенной гироскоп в кардановом подвесе (см. табл. 2.2, п.4). Трехстепенные гироскопы широко применяются при измерении угловых отклонений различных подвижных объектов. Уравнения движения такого гироскопа имеют следующий вид:

где А, В — моменты инерции гироскопа относительно наружной и внутренней осей подвеса; а, — углы отклонения гироскопа относительно наружной и внутренней осей подвеса; — коэффициент сил вязкого трения в опорах подвеса; Н — кинетический момент

гироскопа; М — момент внешних сил, действующих относительно наружной оси.

Входной величиной в данном случае является момент М, а выходными величинами следует считать углы отклонения гироскопа относительно наружной и внутренней осей подвеса, т. е. углы В этом примере ограничимся рассмотрением одной выходной величины — угла а.

Из системы уравнений (2.190) найдем характеристическое уравнение звена

где

Если допустить, что вязкое трение по оси внутренней рамки отсутствует, то передаточная функция по наружной оси гироскопа

где

Моменты вязкого трения как правило, очень малы, а кинетический момент гироскопа велик, поэтому для рассмотренного примера и выражение (2.292) соответствует передаточной функции колебательного звена.

Характеристическое уравнение (2.191) имеет комплексные корни отрицательной вещественной частью:

где

Выражение переходной функции колебательного звена находится аналогично выражению переходной функции апериодического звена порядка. Разложив передаточную функцию (2.192) на простые дроби и выполнив обратное преобразование Лапласа (с учетом значений корней получим

где

Продифференцировав выражение (2.194), определим функцию веса

Переходный процесс рассматриваемого звена носит характер затухающих по экспоненте колебаний. Практически важно определить время затухания переходного процесса — начальный промежуток времени, по истечении которого выполняется неравенство

где — наперед заданное положительное число.

В данном случае Более грубо можно считать, что переходный процесс закончился тогда, когда затухли «зажимающие» его экспоненты.

Иногда полезно знать максимальное отклонение переходной функции или величину перерегулирования а (рис. 2.32). Эти характеристики можно вычислить по формулам:

Рис. 2.32. Переходная функция колебательного звена

Как видно, величина перерегулирования зависит только от коэффициента демпфирования Е.

Для частотная передаточная функция имеет вид

Амплитудная и фазовая частотные характеристики определяются из формулы (2.198) и могут быть представлены следующим образом:

Исследование показывает, что на частоте

при функция имеет максимум:

Частота называется резонансной частотой звена.

Выражение для логарифмической амплитудной характеристики имеет вид

При построении л. а. х. это выражение удобнее рассматривать в виде суммы

где асимптотическая л. a. x.; - поправка к асимптотической л. а. х. При этом

Из этих формул видно, что зависит только от При определенных параметрах реальная л.а.х. колебательного звена может существенно отличаться от асимптотической. Максимальное значение достигается при

Для построения логарифмической фазовой характеристики иногда пользуются приближенными формулами:

Подсчет по этим формулам дает ошибку не более 2°.

Консервативное звено (см. табл. 2.1, п. 5). Звено любой физической природы, работа которого описывается уравнением

называется консервативным звеном.

Любое колебательное звено можно считать консервативным, если в нем отсутствует элемент, поглощающий энергию колебаний Примером консервативного звена может быть колебательный контур при отсутствии в нем активного сопротивления (см. табл. 2.2, п.5). Ближе всего уравнению консервативного звена (2.206) соответствует гравитационно стабилизированный искусственный спутник Земли, поскольку его либрационные колебания относительно текущей вертикали из-за практического отсутствия сопротивления в условиях космического пространства могут длиться в течение нескольких недель.

Все характеристики консервативного звена можно получить из характеристик колебательного звена при Так, из выражения (2.192) определим передаточную функцию

а из (2.194) и (2.195) — временные характеристики:

Частотная передаточная функция

позволяет найти амплитудную, фазовую и частотные характеристики:

Асимптотическая л.а.х. консервативного звена не отличается от аналогичной характеристики колебательного звена, а реальная л.а.х. на частоте обращается в бесконечность. Фазовая частотная характеристика при этой же частоте имеет скачок —180°.