ГЛАВА 10. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 10.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

В предыдущих главах при изложении вопросов анализа и синтеза САУ предполагалось, что значения параметров объекта и регулятора совпадают со значениями, принятыми при проектировании системы. Но из-за целого ряда причин (старения, влияния температуры, радиации и других внешних воздействий, неточности при изготовлении и т. д.) действительные значения параметров всегда отличаются от расчетных. Естественно, что это приводит к изменению критерия (показателя) качества работы системы, а следовательно, и к необходимости изучения влияния отклонения параметров на свойства САУ Этот вопрос является предметом изучения теории чувствительности — нового направления в автоматике и технической кибернетике.

Под чувствительностью будем понимать свойство системы изменять свои выходные характеристики (показатели качества) при отклонении тех или иных параметров от своих номинальных (расчетных) значений. Количественно это свойство САУ оценивается с помощью функций чувствительности.

Рассмотрим линейную стационарную систему первого порядка с передаточной функцией

Переходная функция системы

Допустим, что К и Т — расчетные значения коэффициента усиления и постоянной времени, а и — отклонения этих параметров от расчетных значений. При отклонениях параметров передаточная функция

Ей соответствует переходная функция

Представим функцию как сумму двух слагаемых:

где составляющая реакции системы, обусловленная отклонениями и

Слагаемое является основной составляющей реакции, дополнительной составляющей.

Функцию (10.5) разложим в ряд Тейлора:

где — член, содержащий произведения и степени выше первой величин

Частные производные

в теории чувствительности называются функциями чувствительности первого порядка.

Иногда в рассмотрение вводят частные производные второго и более высоких порядков. Тогда вторые производные называют функциями чувствительности второго порядка и т. д.

Для системы с передаточной функцией (10.3) на основании (10.4) можно получить

При малых отклонениях и

откуда

Функции чувствительности могут быть определены не только при ступенчатом, но и при любом воздействии Если — реакция системы (10.1) на воздействие то вместо (10.6) получаем

где

соответствующие функции чувствительности.

В теории чувствительности величина называется основным, — дополнительным движением.

Функция чувствительности и где — вариация некоторого параметра а, может быть определена через функцию чувствительности на основании известного соотношения, связывающего с переходной функцией (см. § 2.5):

Дифференцируя по Да обе части этого выражения, получаем

Если

где — весовая функция, то

По аналогии с рассмотренными выше функциями чувствительности временных характеристик вводятся функции чувствительности частотных характеристик.

Система с передаточной функцией (10.1) имеет амплитудную и фазовую характеристики

которым соответствуют функции чувствительности

При этом для частотных характеристик системы справедливы приближенные представления

Обычно результаты дифференцирования по Да и а, где а — параметр, совпадают. Поэтому в дальнейшем будем пользоваться

производной по самому параметру а. Кроме того, при частных производных будем опускать индексы, обозначающие равенство нулю вариаций параметров.

Для показателей качества, выражающихся числовыми величинами, вводят коэффициенты чувствительности. Рассмотрим, например, для системы с передаточной функцией (10.1) квадратичную оценку

Для нее имеют место коэффициенты чувствительности

Коэффициенты чувствительности (10.13) связаны с временными функциями чувствительности соотношениями

получаемыми в результате дифференцирования по параметрам левой части выражения (10.12).

Математический аппарат теории чувствительности наиболее глубоко разработан для случая линейного приближения характеристик и показателей качества САУ, когда:

При решении ряда задач, кроме введенных выше функций и коэффициентов чувствительности, рассматривают также логарифмические функции и коэффициенты вида

и полулогарифмические функции и коэффициенты вида

В теории чувствительности разработаны специальные приемы определения точных значений функций и коэффициентов чувствительности.