§ 8.4. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОЦЕССОВ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Пусть система описывается дифференциальным уравнением вида

где — постоянные коэффициенты; — некоторая нелинейная функция. Обозначая вместо уравнения (8.41) получим систему уравнений

Разделим второе уравнение (8.42) на первое, тогда

Решение уравнения (8.43), образованного из уравнения (8.41), будет служить решением и для исходного уравнения (8.41). Но в уравнении (8.43) исключено время его решение представит зависимость

между текущими значениями координаты и производной от этой координаты по времени Вид общего интеграла уравнения (8.4 будет зависеть от конкретного вида функции В общем случае этот интеграл можно записать так:

где — некоторая функция; С — постоянная интегрирования.

Уравнению (8.44) соответствует семейство кривых на плоскости

2 — интегральных кривых уравнения (8.43). Эти кривые, как уже отмечалось при рассмотрении прямого метода Ляпунова, будут служить траекториями движения изображающей точки на плоскости Такие траектории принято называть фазовыми траекториями а плоскость, на которую они наносятся, — фазовой плоскостью, или плоскостью состояний (фаза — величина, характеризующая состояние колеблющейся системы в данное мгновение; каждая точка рассматриваемой плоскости соответствует определенному состоянию системы, в связи с чем эта плоскость и называется фазовой).

В равновесном, статическом режиме имеем или, согласно выражениям (8.42),

т. е. числитель и знаменатель правой части уравнения (8.43) обращаются в нули. При этом величина определяющая направление касательной к фазовым траекториям, становится неопределенной. Точки фазовой плоскости, в которых называются особыми точками. В рассматриваемом случае координаты особых точек определяются решением системы (8.45). В частном случае система (8.45) может иметь решение

в более общем случае, например, решение

Таким образом, статические режимы изображаются особыми точками, располагающимися обычно у начала координат фазовой плоскости. Если имеется изолированная особая точка с координатами (8.46), она называется точкой покоя. Если имеется множество особых точек с координатами (8.47), определяющими на фазовой плоскости некоторый отрезок, то последний называется отрезком покоя.

Рассмотрим, как движется по фазовым траекториям изображающая точка. При координата возрастает, при — убывает. Следовательно, при расположении координатных осей, принятом на рис. 8.12, изображающая точка будет двигаться, вращаясь вокруг начала координат фазовой

Рис. 8.12. Вид фазовой траектории на плоскости

плоскости по часовой стрелке. При фазовые траектории пересекают ось под прямым углом, так как в этих точках координата имеет экстремум.

Характер фазовых траектории определяется видом исходного уравнения, начальное положение изображающей точки на фазовой плоскости определяется начальными условиями (при имеем Фазовая плоскость с траекториями в целом соответствует общему решению системы и характеризует совокупность всех возможных движений, та или иная фазовая траектория в отдельности соответствует частному решению и характеризует данное конкретное движение.

Построив фазовые траектории, всегда можно проследить, как движется по ним изображающая точка относительно точки или отрезка покоя. Если изображающая точка с течением времени неограниченно удаляется от точки покоя, соответствующее равновесное состояние неустойчиво. Наоборот, если изображающая точка, независимо от ее начального положения, двигаясь по фазовым траекториям, приходит к точке покоя, состояние равновесия устойчиво.

Итак, совокупность фазовых траекторий на плоскости определяет все возможные движения системы и служит наглядным изображением ее динамических свойств. Поэтому фазовую плоскость с нанесенными на нее траекториями называют фазовым портретом системы.

Система второго порядка (8.42) имеет две независимые переменные — Поэтому фазовый портрет системы (8.42) изображается на плоскости, имеющей две координатные оси. Если система дифференциальных уравнений имеет третий порядок, то фазовые траектории размещаются в трехмерном фазовом пространстве. В случае системы уравнений порядка фазовое пространство имеет измерений.

Геометрические построения в пространстве значительно менее наглядны, нежели геометрические построения на плоскости. Поэтому наибольшее практическое применение имеют методы построения фазовых траекторий на плоскости, когда система имеет второй порядок. Тем не менее, понятие фазового пространства, или пространства состояний, является фундаментальным для теории нелинейных систем при любом порядке исходных уравнений.