Приближенная оценка устойчивости периодических решений.

Только устойчивые периодические решения нелинейных систем могут описывать реально существующие периодические движения. Пусть при гармонически линеаризованная система имеет периодическое решение. Дадим амплитуде малое приращение Если при амплитуда колебаний уменьшается, а при — увеличивается, то колебания сходятся к периодическому движению и

следовательно, последнее устойчиво. Но для этого требуется, чтобы при коэффициенты системы становились такими, что система удовлетворяла бы какому-либо критерию устойчивости линейных систем, а при — не удовлетворяла ему. Если, наоборот, при гармонически линеаризованная система удовлетворяет критерию устойчивости, а при — не удовлетворяет, то, рассуждая аналогично, приходим к выводу о неустойчивости периодического решения. Воспользуемся, например, критерием Михайлова. Пусть при кривая Михайлова проходит через начало координат. Допустим, что при она охватывает начало координат (кривая 1 на рис. 8.26, а), а при проходит ниже (кривая 2). Тогда, согласно критерию устойчивости Михайлова, в первом случае система устойчива, т. е. колебания в ней затухают, во втором случае — неустойчива, т. е. амплитуда колебаний возрастает; в обоих случаях переходный процесс сходится к периодическому движению с амплитудой значит, это движение устойчиво. Если, наоборот, при уменьшении амплитуды кривая Михайлова охватывает начало координат (рис. 8.26, б), а при увеличении — не охватывает, то периодическое решение неустойчиво.

Рис. 8.26. К определению устойчивости периодического режима гармонически линеаризованной системы