Найдем еще 
проводя вычисление по некоторой удобной схеме. Именно, запишем
Мы провели вычисление таким образом, чтобы подобные члены оказались Записанными один под другим. Теперь видно, что коэффициенты формулы (21.1): 1, 4, 6, 4. 1 получаются из коэффициентов формулы для куба суммы следующим путем: записываем коэффициенты формулы для 
в две строки со сдвигом нижней строки вправо:
и складываем числа, подписанные одно под другим:
при этом и получатся коэффициенты формулы (21.1). Совершенно аналогично, для получения коэффициентов формулы, выражающей 
пишем
Теперь сама формула для пятой степени суммы напишется в виде
Можно весь этот процесс представить с помощью треугольника Паскаля: коэффициенты
Каждая строка этой таблицы (за исключением первой) начинается и заканчивается единицей, любой другой элемент строки равен сумме соседних с ним элементов строки, расположенной над ней. Таким образом, таблица заполняется сверху вниз. Так, например, строка при 
получается из строки при 
по схеме:
а строка при 
из строки при 
аналогично по схеме 
К сожалению, по указанной схеме неудобно находить коэффициенты в формуле для 
при больших значениях 
, так как получить, например, десятую строку можно, лишь продолжив таблицу коэффициентов до десятой строки.
Можно указать и общую формулу для любого из коэффициентов в выражении 
. Эту формулу мы сообщим здесь без вывода, она может быть доказана по индукции.
Первые два коэффициента при 
в разложении 
суть 1 и 
; следующий коэффициент при 
может быть получен по формуле 
следующий 
по формуле 
и т. д. Вообще, коэффициент при 
в выражении 
равен
Здесь в числителе ппшется произведение k последовательных чисел, начиная от 
, расположенных в порядке убывания. В знаменателе, напротив, сомножители 
располагаются, начиная от единицы, в порядке возрастания. Найдем по этому правилу коэффициенты для 
Отметим, что коэффициенты симметрично расположенных (от конца и начала) членов всегда оказываются равными.
В общем виде можно записать формулу так:
Эта формула называется формулой бинома Ньютона.
Пример 1. Раскрыть выражение 
Решение. По формуле бинома Ньютона находим
Пример 2. Найти член бинома 
содержащий а в степени 35/3.
Решение. Член бинома с номером k (считая от начала) содержит произведение
из условия задачи имеем 
. Поэтому требуется написать член бинома с номером 5:
двучлена 
с любым натуральным показателем 
. Мы можем записать выражения 
при 
(используя формулы п. 20 для квадрата и куба луммы):
в правой части формулы получается сумма 
слагаемых; каждое слагаемое содержит множители а и b в степенях, сумма показателей которых равна степени бинома. Для произвольного натурального 
мы можем получить в правой части равенства, выражающего 
слагаемые вида 
с некоторыми числовыми коэффициентами.
