2. Явление Гиббса и сходимость рядов Фурье

Условия сходимости рядов Фурье обсуждены во многих руководствах). Разложение Фурье может применяться к функциям, имеющим конечное число разрывов на протяжении периода . Пусть имеется разрыв в точке со значениями справа и слева и с правой и левой производными в Ряд Фурье при сходится к значению

Чтобы сделать наглядным этот интересный результат, рассмотрим специальный, но типичный пример. Пусть дана «пилообразная» функция (рис. 8.2) с периодом и разрывами в точках

Величина скачка при равна . Соответствующий ряд Фурье есть

Возьмем теперь сумму первых р членов и сравним ее с исходной функцией. Разность равна

Нас интересует положение в окрестности разрыва при .

Возьмем

тогда

Последовательные значения n различаются на а предполагается весьма малым. Введем новую переменную

Мы можем заменить сумму интегралом и записать:

где означает интегральный синус в обычном определении Функция имеет значение при и совершает затухающие колебания, стремясь к нулю при неограниченном увеличении х. Первые экстремумы функции :

Ход последовательных приближений показан на рис. 8.2. Отметим следующее:

A. Все парциальные суммы представлены кривыми, проходящими через точку . Следовательно, точка посредине скачка есть точка сходимости, что согласуется с условием (8.13).

B. Парциальные суммы дают в окрестности разрыва большие колебания, не соответствующие действительному ходу функции. При достаточно большом числе членов парциальной суммы эти колебания представлены кривой (см. (8.17)).

Колебания всегда имеют одну и ту же величину; расположение экстремумов дается (8.18). Парциальная сумма дает выброс при и превосходит истинное значение функции на 0,281, что соответствует относительной погрешности

По мере возрастания числа членов р, удерживаемых в парциальной сумме, протяженность возмущенной области убывает, но максимумы и минимумы сохраняют неизменную амплитуду. Это и есть явление Гиббса. На рис. 8.2 видно, что величина выброса все время составляет 18% при 4, 6 или 10 членах парциальной суммы.

Рис. 8.2. а) График разрывной функции с периодом b) Первые шесть членов ряда Фурье для построенных как функции времени. Показаны также суммы первых четырех (кривая ), первых шести (кривая ) и первых десяти (кривая III) членов.

Результат, полученный в этом специальном примере, является общим и приложим к любой функции с разрывами. Рассмотрим функцию с периодом со скачками на , при . Можно построить непрерывную функцию

путем добавления к функции F некоторого количества функций (8.14), умноженных на подходящие коэффициенты. Ряд Фурье для непрерывной функции G быстро сходится; его коэффициенты убывают, как или еще быстрее. Разрывы функций дают коэффициенты, убывающие только, как (см. (8.15)), и поведение ряда Фурье для F вблизи разрывов

определяется в основном этими медленно сходящимися членами, отражающими выше обсужденные особенности.

Следует отметить еще одно важное обстоятельство: парциальная сумма дает наилучшее возможное приближение исходной функции в смысле среднеквадратичного уклонения,