Глава II. ФУНКЦИИ СУПЕРГАРМОНИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ СУПЕРГАРМОНИЧЕСКИЕ

§ 1. Функции супергармонические в широком смысле (Ф. Рисс)

Числовая функция (конечная или нет) , определенная на открытом множестве пространства называется супергарионической в широком смысле (или гипергармонической), если она полунепрерывна снизу и если для каждого замкнутого шара выполняется неравенство

где среднее значение функции и по площади сферы (обозначения см. в приложении).

В частности, постоянная функция является супергармонической в широком смысле.

Свойства.

а) Пусть — супергармоническая в широком смысле функция в области Какова бы ни была гармоническая функция из условия для всех вытекает, что

Это непосредственное следствие леммы из § 1, гл. I.

Свойство а) объясняет происхождение термина «супергармоническая».

б) Любая линейная комбинация с положительными коэффициентами супергармонических в широком смысле функций есть функция супергармоническая в широком смысле.

в) Нижняя огибающая двух супергармонических в широком смысле функций также является функцией, супергармонической в широком смысле.

г) Верхняя огибающая фильтрующегося вправо семейства супергармонических в широком смысле функций есть функция супергармоническая в широком смысле.

В самом деле, эта огибающая полунепрерывна снизу и удовлетворяет неравенству из определения, включающему среднее по площади сферы, так как возможен переход к пределу под знаком интеграла (см. § 3, гл. I).

д) Пусть — супергармоническая в широком смысле функция на открытом множестве Для любого замкнутого шара лежащего в , обозначим через интеграл Пуассона в для сужения и на сферу Тогда функция и мажорирует

В самом деле, для всякой конечной непрерывной функции определенной на и мажорируемой функцией и на этой сфере, справедливо неравенство

которое выполняется в каждой точке ; согласно свойству а), Поскольку сужение и на полунепрерывно снизу, оно может быть представлено как верхняя огибающая конечных непрерывных функций откуда

Числовая функция (конечная или нет) и, определенная на открытом множестве называется субгармонической в широком смысле (или гипогармонической), если функция — и является супергармонической в широком смысле в Формулировку свойств гипогармонических функций, соответствующих свойствам а) — д), мы предоставляем читателю.