обозначим через ее сужение на
Разность
есть гармоническая функция, принимающая значения О на
Обозначив через
сужение
на
мы рассмотрим функцию
Пусть функция
определена; через
обозначим сужение
на
и через
сужение на
На соответствующих сферах средние значения функций
равны нулю. Поэтому в рассматриваемом кольце выполняются следующие неравенства:
и
Таким образом, по абсолютной величине
не превосходят
Отсюда следует, что ряд
сходится абсолютно и равномерно в кольце. Сумма этого ряда есть гармоническая функция в кольце, дающая решение поставленной задачи Дирихле. Аналогичный процесс применим, когда на
заданы граничные значения 0 и на
граничные значения
со средним значением 0.
Исходя из этого результата, нетрудно построить решение задачи Дирихле в кольце, когда в качестве граничных значений заданы произвольные непрерывные функции
на
и
на
Для сведения к случаю, когда
имеют нулевые средние значения, необходимо воспользоваться линейной комбинацией, содержащей функцию
при
или
при
Рассмотрим, наконец, эту задачу в случае граничных значений более общего вида. Например, если
полунепрерывна снизу на границе и ограничена снизу, то она является пределом фильтрующегося вправо семейства конечных непрерывных функций
Решение
для граничных значений
есть гармоническая функция, и семейство
фильтруется вправо; следовательно,
его предел есть функция гармоническая или тождественно равная
Мы скажем, что этот предел и, если он конечен, является обобщенным решением задачи Дирихле для граничных значений
в каждой точке у границы выполняется неравенство