§ 7. Решение задачи Дирихле в кольце

Мы называем здесь кольцом радиусов в пространстве множество таких точек что

Напомним выражение интеграла Пуассона от функции (определенной и суммируемой на сфере

пространства в открытом шаре с центром 0 и радиусом

В этой формуле интегрирование производится по мере Лебега на сфере обозначает общую массу аналогичной меры на единичной сфере, или «площадь» единичной сферы. Интеграл Пуассона для внешности сферы имеет вид

Эти интегралы представляют собой гармонические функции, по абсолютной величине не превосходящие и стремящиеся к значений в каждой точке в которой функция непрерывна. Если среднее значение функции по площади сферы равно нулю, то и среднее значение интеграла Пуассона по площади любой сферы с центром 0 равно нулю.

Каково бы ни было число обозначим через значение в точке интеграла 1% от функции 0, равной 1 на полусфере и на полусфере Имеем Можно показать, что для любой суммируемой числовой функции определенной на и имеющей нулевое среднее значение, выполняется неравенство

(аналогичный результат имеет место и для

Рассмотрим кольцо радиусов Пусть непрерывная конечная числовая функция, определенная на и имеющая нулевое среднее значение. Мы приступаем к решению задачи Дирихле в кольце при помощи метода последовательных приближений при следующих граничных значениях: на и 0 на

Интеграл Пуассона есть гармоническая функция, граничные значения которой на равны

обозначим через ее сужение на Разность есть гармоническая функция, принимающая значения О на Обозначив через сужение на мы рассмотрим функцию

Пусть функция определена; через обозначим сужение на и через сужение на На соответствующих сферах средние значения функций равны нулю. Поэтому в рассматриваемом кольце выполняются следующие неравенства:

и

Таким образом, по абсолютной величине не превосходят Отсюда следует, что ряд

сходится абсолютно и равномерно в кольце. Сумма этого ряда есть гармоническая функция в кольце, дающая решение поставленной задачи Дирихле. Аналогичный процесс применим, когда на заданы граничные значения 0 и на граничные значения со средним значением 0.

Исходя из этого результата, нетрудно построить решение задачи Дирихле в кольце, когда в качестве граничных значений заданы произвольные непрерывные функции на и на Для сведения к случаю, когда имеют нулевые средние значения, необходимо воспользоваться линейной комбинацией, содержащей функцию при или при

Рассмотрим, наконец, эту задачу в случае граничных значений более общего вида. Например, если полунепрерывна снизу на границе и ограничена снизу, то она является пределом фильтрующегося вправо семейства конечных непрерывных функций Решение для граничных значений есть гармоническая функция, и семейство фильтруется вправо; следовательно,

его предел есть функция гармоническая или тождественно равная Мы скажем, что этот предел и, если он конечен, является обобщенным решением задачи Дирихле для граничных значений в каждой точке у границы выполняется неравенство