§ 3. Емкости произвольных множеств

Емкость есть положительная числовая функция определенная на множестве компактных частей шара В. Мы продолжим эту функцию на более обширное множество частей В.

А) Емкость открытых множеств. Емкостью открытого множества лежащего в В, называется верхняя грань емкостей компактных множеств К, содержащихся в

Б) Внешняя емкость произвольного множества. Пусть произвольная часть внешней емкостью называется нижняя грань емкостей открытых множеств лежащих в В и содержащих Е:

Рассмотрим компактное множество К, лежащее в В. Для любого существует открытая окрестность множества такая, что из включений вытекает неравенство Отсюда получаем

и, следовательно,

Поскольку число произвольно, Таким образом, внешняя емкость компактного множества совпадает с его емкостью.

Теорема А. Картана. Для того чтобы часть шара В была полярным множеством, необходимо и достаточно, чтобы внешняя емкость равнялась нулю.

Пусть полярное множество. Ассоциированной супергармонической функции соответствует, в силу теоремы разложения Рисса, положительная ограниченная мера причем потенциал Грина в В бесконечен на Так как полунепрерывен снизу, множество точек из В, в которых строго больше числа представляет собой открытую окрестность множества Пусть К — любое компактное множество, содержащееся в так как на где емкостное распределение для К, имеем

Таким образом, для любого имеем

а следовательно,

Наоборот, рассмотрим множество внешняя емкость которого равна нулю, Чтобы установить локальное свойство полярности, можно ограничиться случаем, когда в В существуют окрестность точки у и окрестность множества не имеющие общих точек. Так как для любого натурального числа существует открытая окрестность множества емкость которой меньше существует также возрастающая последовательность компактных множеств такая, что Емкостный потенциал множества есть супергармоническая функция, равная 1 на следовательно, есть супергармоническая функция, равная 1 на Если X — некоторое число, такое, что то для любого имеем

так как Следовательно, Таким образом, каждому натуральному числу поставлены в соответствие открытая окрестность множества и положительная супергармоническая функция равная 1 на и такая, что Ряд с общим членом сходится к супергармонической в широком смысле функции которая конечна в точке у и, следовательно, является супергармонической. В любой точке для всех имеет место равенство следовательно, Отсюда вытекает, что полярное множество.

Замечание. Изложенная теория была построена (главным образом, для локальных рассмотрений) для шара таким образом, чтобы она была применима в случае плоскости и чтобы подготовить расширение на более общий случай ограниченной области (см. далее) и даже на пространства Грина — многообразия, аналогичные, в основном, римановым поверхностям, на которых существует

функция Грина. Однако она непосредственно применима к евклидову пространству при для которого функция Грина имеет вид