§ 2. Продолжение функции Грина
В 
существует единственная субгармоническая функция, равная 
на 
и 0 вне 
Единственность здесь будет доказана только при дополнительном предположении, что эта функция равна нулю почти всюду на 
Положим
Тогда функция 
удовлетворяет всем условиям теоремы, так как для 
имеем
Докажем теперь единственность при указанном предположении. Пусть 
возрастающая последовательность открытых множеств 
граница которых имеет меру Лебега нуль (например многогранников). Обозначим через 
гармоническую меру в точке х для 
как известно, последовательность 
грубо сходится к 
(гл. VIII, § 3). Пусть дано число 
для каждой числовой функции 
, определенной и суммируемой в окрестности точки 
можно построить функцию 
Пусть 
продолжение значением 0 функции 
продолжение значением 0 функции 
согласно свойству 2 (§ 1), 
сходятся, возрастая, к 
Кроме того, вне 
а следовательно, почти всюду имеем
откуда
Поскольку функция 
от 
конечна и непрерывна, имеем
С другой стороны,
и, следовательно,
Таким образом, для любой субгармонической функции 
на 
равной 
на 
во внешности 
и почти всюду равной нулю на 
имеем
Заставляя 
стремиться к нулю, отсюда получаем 
что и доказывает единственность.
Наконец, докажем, что 
В одну сторону неравенство известно; кроме того, 
В дальнейшем мы будем использовать продолжение 
вне 
посредством функции 
т. е. продолжение в 
как регуляризации субмедианной функции, полученной при продолжении 
значением 0. Общее определение для произвольных х, выявляющее симметрию, мы оставляем здесь в стороне.
